Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Ta có thể chứng minh đc bất đẳng thức sau:
    Cho a,b,c thực dương và x.y.z=1,ta có:
    $\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+ z+1}\geq 1$
    Trở lại với bài toán đặt $x=\frac{1}{a^2};y=\frac{1}{b^2},\frac{1}{c^2}=z$
    $\Rightarrow \frac{a^4}{a^4+a^2+1}+\frac{b^4}{b^4+b^2+1}+\frac{ c^4}{c^4+c^2+1}\geq 1$
    $\Leftrightarrow \frac{2(a^2+1)}{a^4+b^2+1}+\frac{2(b^2+1)}{b^4+b^2 +1}+\frac{2(c^2+1)}{c^4+c^2+1}\leq 4$
    $\Leftrightarrow \sum(\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{a^2+a+1})\leq 4$
    Vì abc=1 nên áp dụng bổ đề ta có Max=3

  3. #3
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
    $$P =\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1} $$
    Đề bài phải là tìm Max chứ không phải min.
    Bài này có thể dùng tiếp tuyến đơn giản như sau:

    xét hàm số $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} + \ln x$, ta có
    \[f'(x) = \frac{{1 - 2x}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{x};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\].
    Và có ${f_{\max }} = f(1) = 1$.
    Suy ra
    \[VT = f(a) + f(b) + f(c) - \ln a - \ln b - \ln c \le 3f(1) - \ln (abc) = 3\].

  4. Cám ơn Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này