Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262


    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  2. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Tìm hàm $f: R \to R$ thỏa mãn :
    \[f(x + f(y)) = {f^2}(y) + 2x.f(y) + f( - x) \quad{(1)}\]
    với $x,y \in \mathbb{R} $
    Trong $(1)$ thay $x=0$ thu được
    $$ f (f(y)) = f^2 (y)+f(0) \ ; \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)} $$
    Trong $(1)$ thay $x$ bằng $-f(x)$, đồng thời dùng $(2)$ thu được
    $$ f (f(y) -f(x)) = f^2 (y) -2 f(x) f(y)+f^2 (x)+f(0) \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)} $$
    Hay là có
    $$ f (f(y) -f(x)) = \left( f(y)-f(x) \right)^2 +f (0) \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$
    Dễ thấy $f(y) = 0 \ ; \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm.

    Xét trường hợp tồn tại $c \in \mathbb{R}$ thỏa $f(c) \neq 0 $.

    Trong $(1)$ thay $y=c$ thu được
    $$ f (x + f(c)) - f(-x) = 2 x f(c)+f^2 (c) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(5)} $$
    Ta thấy với mọi số thực $t$ bất kỳ, từ $(5)$ luôn có
    $$ f (\dfrac{t-f^2 (c)}{2f (c)} + f(c)) - f(-\dfrac{t-f^2 (c)}{2f (c)} ) = 2 \left( \dfrac{t-f^2 (c)}{2f (c)} \right) \cdot f(c)+f^2 (c) =t \quad{(6)} $$
    Trong $(4)$, thay $x$ bằng $\dfrac{t-f^2 (c)}{2f (c)} + f(c)$ và thay $y$ bằng $-\dfrac{t-f^2 (c)}{2f (c)}$, đồng thời sử dụng $(6)$, ta có
    $$ f(t)=t^2+f(0) \ ; \ \forall t \in \mathbb{R} \quad{(7)} $$
    Thử lại vào $(1)$ nhận thấy hàm $f(t)= t^2 + a \ ; \ \forall t \in \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực $a$.

    Do đó, nghiệm của bài toán là $f(x) = 0 \ ; \ \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = x^2+a \ ; \ \forall x \in \mathbb{R}$.
    Sửa lần cuối bởi materazzi; 14/01/17 lúc 06:18 AM.

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này