Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    238

  2. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi hungchng Xem bài viết
    Bài 4
    Tìm hệ số của $x^9$ trong khai triển $(1+x)^9+(1+x)^{10}+\cdots+(1+x)^{2014}$.
    Nhận xét và lời giải : Bài này thoạt đầu ta nhìn thấy dài và hơi rắc rối bởi cái mũ nó lớn với lại nó có dấu "..." là buồn lòng rồi
    Nhưng quan sát kĩ thì thấy nó là dạng ghét của nhiều bài toán nhỏ
    Ta phân tích từng mảng như sau :
    $*$ Hệ số của $x^9$ trong $(1+x)^9$ là \[C_9^9\] tức là 1
    $*$ Hệ số của $x^9$ trong $(1+x)^{10}$ là \[C_{10}^9\]
    $*$ Hệ số của $x^9$ trong $(1+x)^{11}$ là \[C_{11}^9\]
    $...$
    $*$ Hệ số của $x^9$ trong $(1+x)^{2014}$ là \[C_{2014}^9\]

    Cộng từng vế lại với nhau ta được
    \[C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + ... + C_{2014}^9\]
    Đến đây áp dụng hệ thức $Pascal$ ( nhưng hơi vấn đề thôi chuyển ý tưởng) :
    Ta chứng minh quy nạp rằng : \[C_n^n + C_{n + 1}^n + C_{n + 2}^n + ... + C_{n + k}^n = C_{n + k + 1}^{n + 1}\]
    Thật vậy với $k=1$ thì đúng
    Gỉa sử đúng với $k=m$ (m>1) , tức là
    \[C_n^n + C_{n + 1}^n + C_{n + 2}^n + ... + C_{n + m}^n = C_{n + m + 1}^{n + 1}\] (*)
    Ta cần chứng minh đúng với $k=m+1$ thật vậy từ (*) ta có :
    \[\begin{array}{l}
    C_n^n + C_{n + 1}^n + C_{n + 2}^n + ... + C_{n + m}^n + C_{n + m + 1}^n\\
    = C_{n + m + 1}^{n + 1} + C_{n + m + 1}^n = C_{n + m + 2}^{n + 1}
    \end{array}\]
    Từ đó đẳng thức được chứng minh, ta áp dụng vào bài trên
    Kết quả: \[C_{2015}^{10}\]
    bài này hơi bị dài
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  4. Cám ơn chihao, hoangcuto, letrungtin, vuduy đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator caodinhhoang's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Vạn Mai Sơn Trang
    Tuổi
    21
    Bài viết
    238
    Cám ơn (Đã nhận)
    238
    Nó không rắc rối như vậy đâu
    Để ý 1 chút ta thấy đây là tổng của cấp số nhân với số hạnh đầu là $(1+x)^4$ và $q=1+x$ tổng là 2006 số hạng
    Vậy $S=\dfrac{ (x+1)^{2015}-(x+1)^{9}}{x}$
    Vậy hệ số của $x^9$ trong khai triển trên là hệ số của $x^{10}$ trong khai triển $(x+1)^{2015}$
    Và cho chung kết quả với bạn \[C_{2015}^{10}\]
    Hello AJNOMOTO

  6. Cám ơn Trần Duy Tân, hoangcuto, vanhuanhb, vuduy đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi Hoàng Thiên Toàn Năng Xem bài viết
    Nó không rắc rối như vậy đâu
    Để ý 1 chút ta thấy đây là tổng của cấp số nhân với số hạnh đầu là $(1+x)^4$ và $q=1+x$ tổng là 2006 số hạng
    Vậy $S=\dfrac{ (x+1)^2015-(x+1)^9}{x}$
    Vậy hệ số của $x^9$ trong khai triển trên là hệ số của $x^10$ trong khai triển $(x+1)^2015$
    Và cho chung kết quả với bạn \[C_{2015}^{10}\]
    Đúng rồi nhỉ, cách giải hay, cảm ơn bạn
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  8. Cám ơn caodinhhoang đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này