Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3

Chủ đề: Đa thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    43
    Cám ơn (Đã nhận)
    44


    Phương trình hàm đa thức:
    I. Lý thuyết:
    Xét hai đa thức sau:
    $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ và
    $Q(x)=\sum_{i=0}^{k}b_{i}x^{i}$ Ta có :
    Về bậc của đa thức:
    $deg(P(x).Q(x))=deg(x)+ deg Q(x)=n+k$
    $deg(P(Q(x)))= deg P(x).degQ(x)$
    Về nghiệm đa thức:
    Định lí Bơzu:
    $P(a)=0\rightarrow P(x)=(x-a).H(x)$
    P(x)=0 tại nhiều hơn n điểm thì P(x)= 0
    $\rightarrow P(x+a)=P(x$ thì P(x) = 0.
    Bên cạnh đó còn các công cụ liên quan đên dãy số, giới hạn, đạo hàm, số phức và các kiến thức đã biết về phương trình hàm còn được ứng dụng vào bài toán. Các bài toán mình trình bày sau đây có thể không mới chỉ mang tính chất hệ thống.
    II. Bài tập:
    a. Sử dụng kết quả đã biết trong phần lý thuyết:
    1. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa : P(0)=0 và
    $P(x)=\frac{1}{2}.(P(x+1)+P(x-1))$ (Gợi ý: quy nạp toán học)

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    2. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa :
    $P(x+1).P(x-1)=P(P(x))$ (So sánh bậc của đa thức)
    3. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn :
    $(x^{3}+3x^{2}+3x+2).P(x-1)=(x^{3}-3x^{2}+3x-2).P(x)$ (Gợi ý: định lí Bơzu)
    4. Tìm đa thức với hễ số thực thỏa mãn:
    $P(x)^{2}-1=4.P(x^{2}-4x+1)$ (Gợi ý: Đồng nhất hệ số đa thức. Chứng minh P(x) có hệ số hữu tỉ, thế giá trị đặc biệt).
    II. Bài tập:
    a. Sử dụng kết quả đã biết trong phần lý thuyết:
    1. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa : P(0)=0 và
    $P(x)=\frac{1}{2}.(P(x+1)+P(x-1))$ (Gợi ý: quy nạp toán học)
    2. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa :
    $P(x+1).P(x-1)=P(P(x))$ (So sánh bậc của đa thức)
    3. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn :
    $(x^{3}+3x^{2}+3x+2).P(x)=(x^{3}-3x^{2}+3x-2).P(x)$ (Gợi ý: định lí Bơzu)
    4. Tìm đa thức với hễ số thực thỏa mãn:
    $P(x)^{2}-1=4.P(x^{2}-4x+1)$ (Gợi ý: Đồng nhất hệ số đa thức. Chứng minh P(x) có hệ số hữu tỉ, thế giá trị đặc biệt).
    b. Sử dụng công cụ giải tích hiện đại:
    5. Tìm đa thức P(x) thỏa mãn:
    $P(3x)=P'(x).P''(x).P'''(x)$ (Dựa trên dạng tổng quát của đa thức rồi so sánh bậc)
    6. Tìm đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn: P(1960)=1992
    $P(x)=\sqrt{P(x^{2}+1)-33}+32$ (Gợi ý: dùng dãy số)
    7. Tìm đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn: P(0)=0
    $P((x+1)^{3})=(P(x)+1)^{3}$ (Gợi ý: Dùng dãy số)
    8. Tìm đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn:
    $P(x).Q(x+1)-P(x+1).Q(x)=1$ (Gợi ý: dùng giới hạn)
    c. Một dạng đặc biệt: $P(f(x)).P(g(x))=P(h(x))+Q(x)$ với degf(x) + deg g(x) = deg h(x).
    Ba bài toán sau đây tiêu biểu cho 3 cách giải của dạng bài này:
    9. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:
    $P(x^{2}) + x.(3P(x)+P(-x))=P(x)^{2}+2x^{2}$
    10. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn:
    $P(x).P(x+1)=P(x^{2}+x+1)$
    11. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn:
    $2P(x)^{2}-3=-P(x^{2}-1)$ (gợi ý: vô nghiệm)
    d. Một số bài toán có nhiều cách giải:
    12. (Romania 2001)
    Tìm đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn:
    $P(x).P(2x^{2}-1)=P(x^{2}).P(2x-1)$
    13. Tìm đa thức P(x) thỏa:
    $P(x)=P(\frac{-x+\sqrt{3(1-x^{2})}}{2})$
    e. Đa thức nhiều biến:
    14. Tìm đa thức P(X) thỏa mãn:
    $P(x+y).P(x-y)=P(x)^{2}-P(y)^{2}$
    15. Tìm đa thức P(x) thỏa mãn:
    $P(\sqrt{3}(a-b))+P(\sqrt{3}(b-c))+P(\sqrt{3}(c-a))=P(2a-b-c)+P(2c-a-b)+P(2b-c-a)$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Rất mong nhận được lời giải cùng các bài toán mơi từ quý thầy cô và các bạn. em cảm ơn!

  2. Cám ơn Trần Duy Tân, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Sau đây em xin gửi đến bài toán cũng khá đặc trưng về phương pháp dùng tính chất dãy mà thầy vừa nhắc :
    Xuất hiện trong đề chọn HSG Quốc Gia vừa qua
    Tìm hàm $f: R \to R$ :
    \[{x^2}.f(\frac{1}{x}) = f(x) - {x^2} + 1\]
    với $x$ thuộc $R$

    Lưu ý : bài trên có thể giải bằng cách khác
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  4. Cám ơn kinhluannguyen đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    43
    Cám ơn (Đã nhận)
    44
    Đề chọn hsg quốc gia năm nào vậy bạn ?

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này