Bài toán:
Cho dãy số ${({x_n})_{n \ge 1}}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 0;{x_3} = 1}\\
{{x_{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}{x_n} + 2\frac{{n - 1}}{{n + 1}}{x_{n - 1}} + \frac{2}{{n + 1}};\forall n \ge 2.}
\end{array}} \right.$
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $n$ sao cho ${x_n}$ là số chính phương.