Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Chứng minh BĐT

  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119


    Cho hai số thực dương $a;\,b.$ Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2\ge\sqrt{3\left(1+a^2 +b^2\right)}$

  2. #2
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Cho hai số thực dương $a;\,b.$ Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2\ge\sqrt{3\left(1+a^2 +b^2\right)}$
    Lời giải 1 :
    Sau khi bình phương 2 vế, ta đưa về chứng minh $$a^2b^4+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{2}{b}+2a^2b \geq 3+3a^2+b^2$$
    Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có $\begin{cases} a^2b^4+\dfrac{1}{a^2} \ge 2b^2 \\ 2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+2.a^2b \right) \ge 6a^2 \\ \dfrac{4}{b}+a^2b^4+\dfrac{1}{a^2} \geq 6 \end{cases}$
    Cộng vế theo vế các BĐT trên ta suy ra được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$.
    Lời giải 2 : (anh Cẩn)
    Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^2\left(\dfrac{1}{b}+b^2\right) +1 \ge \sqrt{3a^2(a^2+b^2+1)}.$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\begin{align} 2\sqrt{3a^2(a^2+b^2+1)} &\le \dfrac{3a^2(b^2+1)}{2}+ \dfrac{2(a^2+b^2+1)}{b^2+1} \\ &=a^2\left(\dfrac{3b^2+3}{2} +\dfrac{2}{b^2+1}\right) +2 \\ &\le a^2\left(\dfrac{3b^2+3}{2}+\dfrac{1}{b}\right)+2 \end{align}.$$ Do đó, ta chỉ cần chứng minh được $$2[ a^2(\dfrac{1}{b}+b^2) +1] \ge a^2(\dfrac{3b^2+3}{2}+\dfrac{1}{b})+2,$$ hay tương đương $$a^2(\dfrac{1}{b}+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{3}{2}) \ge 0.$$ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng do $$\dfrac{2}{b}+b^2=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+b^2 \ge 3.$$ Bài toán được chứng minh xong. $\blacksquare$
    Lời giải 3 : (Hakuri)
    Bất đẳng này nhìn có vẻ khá khó chịu, một bất đẳng thức chứa hai biến, không đối xứng, bậc thì lệch lung tung, lại còn có cả căn nữa. Vậy hướng đi của chúng ta sẽ là gì đây? Mình tin chắc nhiều bạn sẽ nghĩ ngay đến việc biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức quen biết như AM-GM, Cauchy-Schwarz. Tuy nhiên xem xét một cách kỹ càng thì cách này có vẻ khó đây
    Chúng ta sẽ phải phán đoán điểm rơi cùng với đó là biến đổi, tách ghép một cách hợp lý các biểu thức nữa.
    Vậy tại sao các bạn không thử gạt bỏ suy nghĩ đó đi và tiếp cận theo một cách nào đó thật khác biệt.
    Với bài toán này chúng ta sẽ sử dụng tam thức bậc hai để giải quyết, một tư tưởng khá mạo hiểm đúng không nào? Để có được điều này hãy viết bất đẳng thức chứng minh về dạng : $$\dfrac{1}{a}+a\left(\dfrac{1}{b}+b^2\right) \ge \sqrt{3(a^2+b^2+1)}$$Như một thói quen hãy cứ nhân chia một cách "điên loạn" nào . Ta chia cả hai vế cho $a$ rồi bình phương lên thì phải chứng minh : $$\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b}+b^2\right)^2 \ge 3(\dfrac{b^2+1}{a^2}+1)$$Giờ thì rõ rồi nha, cứ xem thằng $\dfrac{1}{a^2}$ là $x.$ Khai triển ra thì phải chứng minh : $$f(x)=x^2+\left(\dfrac{2}{b}-b^2-3\right)x+\left(b^2+\dfrac{1}{b}\right)^2-3 \ge 0$$Đã có tam thức bậc hai, giờ thì tính $\Delta$ nào, rõ ràng ta chỉ cần chỉ ra : $\Delta \le 0.$ Hơn thế biểu thức $\Delta$ của ta lại chỉ có đúng cái biến $b$ nên niềm tin của ta lại thêm phần được củng cố.
    Khi đã có niềm tin thì có lẽ việc tính $\Delta$ nhìn có vẻ khá trâu giờ như một con muỗi vậy
    Ta có : $$\Delta=\left(\dfrac{2}{b}-b^2-3\right)^2-4\left[\left(b^2+\dfrac{1}{b}\right)^2-3\right]=3(b^2+1)\left(3-b^2-\dfrac{4}{b}\right)+12$$Mục tiêu của ta là chứng minh : $\Delta \le 0$ hay là chứng minh : $$(b^2+1)\left(b^2+\dfrac{4}{b}-3\right)-4 \ge 0$$$$\Leftrightarrow (b^2+1)(b^2-3)+\dfrac{4(b^2+1)}{b}-4 \ge 0 \Leftrightarrow (b^2-1)^2+\dfrac{4(b-1)^2}{b} \ge 0$$Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng, kéo theo $\Delta \le 0$ và theo định lý về dấu của tam thức bậc hai $f(x) \ge 0.$
    Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1.$

    Nguồn: onluyentoan.vn

  3. Cám ơn lequangnhat20, Trần Duy Tân, binhnhaukhong đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này