Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 9 của 9 Đầu tiênĐầu tiên ... 789
Kết quả 81 đến 87 của 87
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    19
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147


    Cách đây 2 năm 2 ngày, topic “Bất đẳng thức made in BoxMath” được chú Tạ Hồng Quảng (colia) lập ra. Đã có nhiều bài toán hay cùng với sự thảo luận rất sôi động của các thành viên trong diễn đàn như: chú colia, anh Lil.Tee, anh HongAn39, chị hahahaha1, thím viet_1846, anh NguyenHuyen_AG , anh Khanh Sy, anh itachi , anh alex_hoang, anh bboy_114crew… Mới hôm qua thôi, do diễn đàn mình gặp sự cố không hề nhẹ nên topic giờ đây đã không còn . Hôm nay do nổi hứng của thằng đi thi không làm được bài, mình xin lập ra topic này nhằm tạo ra sân chơi cho các bạn yêu Toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng. Hi vọng sẽ nhận được sự hưởng ứng của các thành viên.
    Yêu cầu:
    1. Tuân thủ đúng nội quy của diễn đàn.
    2. Đề bài phải đánh số rõ ràng+tô đậm+tô màu xanh.
    3. Các lời giải phải giải trọn vẹn, không giải nữa vời!

    Một số bài toán của các thành viên trước đây:
    Bài 1: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^7+b^7+c^7=3$. Chứng minh rằng: $$(\dfrac{a^6+3}{4})^6+ (\dfrac{b^6+3}{4})^6+ (\dfrac{c^6+3}{4})^6 \geq \dfrac{36}{(1+a+b+c)(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c )}$$
    Bài 2: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2 }+ \dfrac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$
    Bài 3: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ca}+ \dfrac{c^3}{2c^2+ab} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(a+b+c)}$$
    Bài 4: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tích là $1$. Chứng minh rằng: \[ \left( 1+a^3 \right) \left( 1+b^3 \right) \left( 1+c^3 \right) +43 \ge 17(a+b+c)\]
    Bài 5: (hahahaha1) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$5\sum a^2+3abc \geq \sum a^3b+5\sum ab$$
    Bài 6: (HongAn39)Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=\sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{2a+b+c}} + \sqrt{\dfrac{b^2+ca}{2b+c+a}}+ \sqrt{\dfrac{c^2+ab}{2c+a+b}}\geq \dfrac{1}{2}(\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}+ \sqrt{c+1})$$
    Bài 7: (Lil.Tee)Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{b^2+\sqrt{c}}+ \dfrac{b}{c^2+\sqrt{a}}+ \dfrac{c}{a^2+\sqrt{b}} \geq \dfrac{3}{3-\sqrt[3]{abc}}$$
    Bài 8: (Ngô Hoàng Toàn) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{a^2+ \frac{17}{4}ab+b^2}+ \sqrt{b^2+ \frac{17}{4}bc+c^2}+\sqrt{c^2+ \frac{17}{4}ca+a^2} \geq \sqrt{2(a+b+c)^2+49}$$
    Bài 9: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2+b}{c(a^2+b+c)}+ \dfrac{b^2+c}{a(b^2+c+a)}+ \dfrac{c^2+a}{b(c^2+a+b)} \geq \dfrac{2(a\sqrt{a}+ b\sqrt{b}+ c\sqrt{c})}{3\sqrt[3]{abc}}$$
    Bài 10: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số không âm có tổng là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{\sqrt{a+b}}{a+1}+ \dfrac{\sqrt{b+c}}{b+1}+ \dfrac{\sqrt{c+a}}{c+1}$$
    Sửa lần cuối bởi HongAn39; 26/11/14 lúc 02:48 AM.

  2. #81
    Super Moderator hailang2002's Avatar
    Ngày tham gia
    Jan 2017
    Tuổi
    15
    Bài viết
    41
    Cám ơn (Đã nhận)
    9
    Bài 60 (hailang2002 - boxmath.vn)
    Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
    \[{\sum {\left( {\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \right)} ^2} \ge \frac{1}{3} + \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)}^2}}}{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}\]
    $LE VIET HUNG$

  3. #82
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    19
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147
    Trích dẫn Gửi bởi hailang2002 Xem bài viết
    Bài 60 (hailang2002 - boxmath.vn)
    Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
    \[{\sum {\left( {\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \right)} ^2} \ge \frac{1}{3} + \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)}^2}}}{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}\]
    Ta có
    \begin{align*}VT&=\sum \left(\left(\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\right)^2+\dfrac{1}{9}\right)-\dfrac{1}{3}\\
    &\geq \dfrac{2}{3}.\sum \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} -\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{4}{9}\sum \dfrac{(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3}\\
    &\geq \dfrac{4}{9}.\dfrac{\left(\sum (a-b)^2\right)^2}{\sum (a-b)^2(a^2+ab+b^2)}+\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{16}{9}.\dfrac{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2}{2\sum a^4-\sum a^3b-\sum ab^3}+\dfrac{1}{3}
    \end{align*}
    Vậy ta cần chứng minh
    $$16(a^4+b^4+c^4)\geq 2\left(2\sum a^4-\sum a^3b-\sum ab^3\right)$$
    Điều này hiển nhiên đúng!
    Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

  4. #83
    Super Moderator hailang2002's Avatar
    Ngày tham gia
    Jan 2017
    Tuổi
    15
    Bài viết
    41
    Cám ơn (Đã nhận)
    9
    Bài 61 (nguyenphuctangboxmath)
    Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge \frac{6}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$
    Nick cũ của mình bị die rồi nên mình xài chung nick với Việt Hưng
    $LE VIET HUNG$

  5. #84
    Thành Viên Chuyên Nghiệp anhduy98's Avatar
    Ngày tham gia
    Jul 2015
    Tuổi
    19
    Bài viết
    321
    Cám ơn (Đã nhận)
    242
    Trích dẫn Gửi bởi hailang2002 Xem bài viết
    Bài 61 (nguyenphuctangboxmath)
    Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge \frac{6}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$
    Nick cũ của mình bị die rồi nên mình xài chung nick với Việt Hưng
    Ta có : $VT=\frac{1}{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\left ( ab+bc+ca \right )\sqrt[3]{(abc)^{2}}}\geq \frac{3}{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a+b+c \right )}+\frac{1}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}$

    $\rightarrow VT\geq \frac{3}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}-\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}\geq \frac{12}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 58 khanhsy boxmath
    Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
    $$\left(\sum_{cyc} \frac{a^2}{bc}\right) + 6 \ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} + \dfrac{324}{81}\dfrac{ (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2}{(ab+bc+ca)^2},(1)$$

    $\left ( 1 \right )\leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-3\geq 4\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-5$

    $\leftrightarrow \frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )}{abc}\geq \left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1 \right )\left ( 4.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+5 \right )$

    $\leftrightarrow \frac{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{abc}-9\geq 4 \left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}-1 \right )$

    $\leftrightarrow \left ( \frac{1}{ab}-\frac{2}{ab+bc+ca} \right )\left ( a-b \right )^{2}+\left ( \frac{a+b}{abc}-\frac{4}{ab+bc+ca} \right )\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\geq 0$

    $\leftrightarrow c\left [ bc+a\left ( c-b \right ) \right ]\left ( a-b \right )^{2}+\left [ c\left ( a-b \right )^{2} +ab\left ( a+b \right )\right ]\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\geq 0$,
    (luôn đúng với $c$ lớn nhất)

  6. #85
    Thành Viên Chuyên Nghiệp anhduy98's Avatar
    Ngày tham gia
    Jul 2015
    Tuổi
    19
    Bài viết
    321
    Cám ơn (Đã nhận)
    242
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 48 Khanhsyboxmath.vn
    Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
    $$\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\ge \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\dfrac{3(a^ 2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{4(a+b+c)}$$

    (Mục đích là lên bài)

    $P=\left ( a+b+c \right )\sum \frac{a^{2}}{b}=\sum \frac{\left ( a^{2}+bc \right )^{2}}{ab}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\left ( ab+bc+ca \right )$

    $P\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \right )^{2}}{ab+bc+ca}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(ab+bc+ca)$

    $P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{ab+bc+ca}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)$

    $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{ab+bc+ca}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a+b+c}\rightarrow$đpcm

  7. #86
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Feb 2015
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    5
    Bài 62 (Colia - boxmath.vn). Cho $a,b,c \ge 0,a + b \ge c,b + c \ge a,c + a \ge b,a + b + c = 1,n \in N,n > 1$ . Chứng minh rằng
    \[\frac{a}{{\sqrt[n]{{{c^2} + ab}}}} + \frac{b}{{\sqrt[n]{{{a^2} + bc}}}} + \frac{c}{{\sqrt[n]{{{b^2} + ca}}}} \ge \frac{1}{{\sqrt[n]{{1 + 6abc - 3(ab + bc + ca)}}}}\]
    Dấu bằng xảy ra khi nào?

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bài 63 (Colia - boxmath.vn). Cho $a,b,c \ge 0$ and $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng

    $$ \frac{3}{2}\, \, \ge \, \: {\frac {a}{{a}^{4}+1}}+{\frac {b}{{b}^{4}+1}}+{\frac {c}{{c}^{4}+1}}\: \ge \: \frac{3}{82}$$.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bài 64 (Colia - boxmath.vn). Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng

    $$\frac {2a}{b+c}+\frac {ab+c}{a+b}+\frac {b+3}{c+a}+c \ge 5$$

  8. #87
    Thành Viên Chuyên Nghiệp anhduy98's Avatar
    Ngày tham gia
    Jul 2015
    Tuổi
    19
    Bài viết
    321
    Cám ơn (Đã nhận)
    242
    Trích dẫn Gửi bởi colia Xem bài viết
    Bài 62 (Colia - boxmath.vn). Cho $a,b,c \ge 0,a + b \ge c,b + c \ge a,c + a \ge b,a + b + c = 1,n \in N,n > 1$ . Chứng minh rằng
    \[\frac{a}{{\sqrt[n]{{{c^2} + ab}}}} + \frac{b}{{\sqrt[n]{{{a^2} + bc}}}} + \frac{c}{{\sqrt[n]{{{b^2} + ca}}}} \ge \frac{1}{{\sqrt[n]{{1 + 6abc - 3(ab + bc + ca)}}}}\]
    Dấu bằng xảy ra khi nào?

    Với $a,b,c\in \left [ 0;\frac{1}{2} \right ],a+b+c=1$ ta chứng minh : $T=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc-2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\geq 0$

    Giả sử $b$ nằm giữa $a,c$$\rightarrow b^{2}\leq b\left ( c+a \right )-ca$

    $\rightarrow T\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc-2b\left ( a+c \right )^{2}=\left ( 1-2b \right )\left ( b^{2}-3b+1 \right )-ac\left ( 3-8b \right )$

    $1/ TH1 : 0\leq b\leq \frac{3}{8}$ . Dùng : $ac\leq b\left ( a+c \right )-b^{2}=b-2b^{2}$

    $\rightarrow T\geq \left ( 1-2b \right )\left ( 1-3b \right )^{2}\geq 0$

    $2/TH2 : \frac{3}{8}\leq b\leq \frac{1}{2}$ . Dùng : $ac\geq \frac{1}{2}\left ( a+c \right )-\frac{1}{4}=\frac{1-2b}{4}$

    $\rightarrow T\geq \frac{1}{4}\left ( 1-2b \right )^{3}\geq 0$

    Tóm lại ta CM được : $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq 2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right ),\forall a,b,c\in \left [ 0;\frac{1}{2} \right ],a+b+c=1$

    Gọi vế trái BĐT cần CM là $P$ . Ta có :
    $$P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a\sqrt[n]{c^{2}+ab}+b\sqrt[n]{a^{2}+bc}+c\sqrt[n]{b^{2}+ca}}$$
    $$P\geq \frac{1}{\sqrt[n]{a^{n-1}\left ( c^{2} a+a^{2}b\right )}+\sqrt[n]{b^{n-1}\left ( a^{2} b+b^{2}c\right )}+\sqrt[n]{c^{n-1}\left ( b^{2} c+c^{2}a\right )}}$$
    $$P\geq \frac{1}{\left ( \sqrt[n]{a+b+c} \right )^{n-1}\left ( \sqrt[n]{\left ( c^{2}a+a^{2}b \right )+\left ( a^{2}b+b^{2}c \right )+\left ( b^{2}c+c^{2}a \right )} \right )}=\frac{1}{\sqrt[n]{2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )}}$$
    $$\rightarrow P\geq \frac{1}{\sqrt[n]{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}}\rightarrow đpcm$$

    Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc các hoán vị của : $\left ( 0;\frac{1}{2} ;\frac{1}{2}\right )$

 

 
Trang 9 của 9 Đầu tiênĐầu tiên ... 789

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này