Bất Đẳng Thức Made In BoxMath

[Ntspbc]

Cách đây 2 năm 2 ngày, topic “Bất đẳng thức made in BoxMath” được chú Tạ Hồng Quảng (colia) lập ra. Đã có nhiều bài toán hay cùng với sự thảo luận rất sôi động của các thành viên trong diễn đàn như: chú colia, anh Lil.Tee, anh HongAn39, chị hahahaha1, thím viet_1846, anh NguyenHuyen_AG , anh Khanh Sy, anh itachi , anh alex_hoang, anh bboy_114crew… Mới hôm qua thôi, do diễn đàn mình gặp sự cố không hề nhẹ nên topic giờ đây đã không còn . Hôm nay do nổi hứng của thằng đi thi không làm được bài, mình xin lập ra topic này nhằm tạo ra sân chơi cho các bạn yêu Toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng. Hi vọng sẽ nhận được sự hưởng ứng của các thành viên.
Yêu cầu:
1. Tuân thủ đúng nội quy của diễn đàn.
2. Đề bài phải đánh số rõ ràng+tô đậm+tô màu xanh.
3. Các lời giải phải giải trọn vẹn, không giải nữa vời!
…
Một số bài toán của các thành viên trước đây:
Bài 1: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^7+b^7+c^7=3$. Chứng minh rằng: $$(\dfrac{a^6+3}{4})^6+ (\dfrac{b^6+3}{4})^6+ (\dfrac{c^6+3}{4})^6 \geq \dfrac{36}{(1+a+b+c)(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c )}$$
Bài 2: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2 }+ \dfrac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$
Bài 3: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ca}+ \dfrac{c^3}{2c^2+ab} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(a+b+c)}$$
Bài 4: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tích là $1$. Chứng minh rằng: \[ \left( 1+a^3 \right) \left( 1+b^3 \right) \left( 1+c^3 \right) +43 \ge 17(a+b+c)\]
Bài 5: (hahahaha1) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$5\sum a^2+3abc \geq \sum a^3b+5\sum ab$$
Bài 6: (HongAn39)Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=\sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{2a+b+c}} + \sqrt{\dfrac{b^2+ca}{2b+c+a}}+ \sqrt{\dfrac{c^2+ab}{2c+a+b}}\geq \dfrac{1}{2}(\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}+ \sqrt{c+1})$$
Bài 7: (Lil.Tee)Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{b^2+\sqrt{c}}+ \dfrac{b}{c^2+\sqrt{a}}+ \dfrac{c}{a^2+\sqrt{b}} \geq \dfrac{3}{3-\sqrt[3]{abc}}$$
Bài 8: (Ngô Hoàng Toàn) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{a^2+ \frac{17}{4}ab+b^2}+ \sqrt{b^2+ \frac{17}{4}bc+c^2}+\sqrt{c^2+ \frac{17}{4}ca+a^2} \geq \sqrt{2(a+b+c)^2+49}$$
Bài 9: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2+b}{c(a^2+b+c)}+ \dfrac{b^2+c}{a(b^2+c+a)}+ \dfrac{c^2+a}{b(c^2+a+b)} \geq \dfrac{2(a\sqrt{a}+ b\sqrt{b}+ c\sqrt{c})}{3\sqrt[3]{abc}}$$
Bài 10: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số không âm có tổng là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{\sqrt{a+b}}{a+1}+ \dfrac{\sqrt{b+c}}{b+1}+ \dfrac{\sqrt{c+a}}{c+1}$$

Bài viết liên quan:

• [Hỏi] CMR: $\left ( x+y+z \right )+2\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )+\frac{8}{xyz}\geqslant \frac{121}{12}$
• Cho $x,y,z \in \mathbb{R}, 0<x <y \le z \le 1$ thoả mãn $3x+2y+z \le 4$. Tìm GTLN \[P=3x^3+2y^3+z^3\]
• Cho $y\geq 0$ và x là số thực bất kì Chứng minh rằng : $\frac{x^{6}+y^{9}}{4}\geq 3x^{2}y^{3}-16$
• Với a,b,c>0.Chứng minh rằng :$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$
• Tìm GTNN biểu thức : $$T=x^4+y^4+z^4+cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)$$

[tr2512]

Bài 67 (Lê Ngọc Đức): Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh:
$\frac{{a + b}}{{\sqrt {2a + b} + \sqrt {2b + a} }} + \frac{{b + c}}{{\sqrt {2b + c} + \sqrt {2c + b} }} + \frac{{c + a}}{{\sqrt {2{\text{a}} + c} + \sqrt {2c + a} }} \leqslant \sqrt 3$

[anhduy98]

Bài 67 (Lê Ngọc Đức): Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh:
$\frac{{a + b}}{{\sqrt {2a + b} + \sqrt {2b + a} }} + \frac{{b + c}}{{\sqrt {2b + c} + \sqrt {2c + b} }} + \frac{{c + a}}{{\sqrt {2{\text{a}} + c} + \sqrt {2c + a} }} \leqslant \sqrt 3$

$$\sqrt{2a+b}+\sqrt{a+2b}=\sqrt{\frac{\left ( a+a+b \right )\left ( a+b+c \right )}{3}}+\sqrt{\frac{\left ( a+b+b \right )\left ( a+b+c \right )}{3}}$$
$$\rightarrow \sqrt{2a+b}+\sqrt{a+2b}\geq \frac{a+\sqrt{(a+b)(b+c)}}{\sqrt{3}}+\frac{b+\sqrt {(a+b)(a+c)}}{\sqrt{3}}$$
$$\rightarrow \sqrt{2a+b}+\sqrt{a+2b}\geq \sqrt{\frac{a+b}{3}}\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )$$
$$\rightarrow \sum \frac{a+b}{\sqrt{2a+b}+\sqrt{a+2b}}\leq \sum \frac{\sqrt{3(a+b)}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c +a}}= \sqrt{3}$$

[anhduy98]

Bài 68: Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm. Chứng minh :
$$\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}\geq \sqrt{4\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-\left ( ab+bc+ca \right )}$$

[anhduy98]

[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
Bài toán này được bạn Tăng Hải Tuân giải rất đẹp. Vì thế chúng tôi đưa lên để các bạn tham khảo và để lấy nguồn

Bài 37: (khanhsy-boxmath.vn)
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\left( \dfrac{a}{a+b}\right)^2+\left( \dfrac{b}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{c}{c+a} \right)^2\ge \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} +\dfrac{a}{c+a} \right)$$

+$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}=\frac{a}{c+a}$

+Lập 2 BĐT tương tương tự cộng lại ta được đpcm.

[anhduy98]

Bài 69: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương . Chứng minh :
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq 1+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2\left ( a+b+c \right )}$$

[anhduy98]

Bài 70: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương . Chứng minh : $$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\geq 9\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}$$

[colia]

Bài 71 (Colia - boxmath.vn). Cho $a,b,c > 0, m = \min (\left| {a - b} \right|,\left| {a - c} \right|,\left| {c - b} \right|) $. Chứng minh rằng
a:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 6 \ge \frac{{27(ab + bc + ca + {m^2})}}{{{{(a + b + c)}^2}}}\]
b:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 6 \ge \frac{{27(ab + bc + ca + {m^2})}}{{{{(a + b + c)}^2}}}+ {\frac {{m}^{2}}{ \left( a+b+c \right) ^{2}} \left( {\frac {a}{b}}+{
\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{
c}}-6 \right) }
\]

[anhduy98]

Bài 72: Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh:
$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\frac{48\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq 25$$