Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 10 123 ... CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 98
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149


    Cách đây 2 năm 2 ngày, topic “Bất đẳng thức made in BoxMath” được chú Tạ Hồng Quảng (colia) lập ra. Đã có nhiều bài toán hay cùng với sự thảo luận rất sôi động của các thành viên trong diễn đàn như: chú colia, anh Lil.Tee, anh HongAn39, chị hahahaha1, thím viet_1846, anh NguyenHuyen_AG , anh Khanh Sy, anh itachi , anh alex_hoang, anh bboy_114crew… Mới hôm qua thôi, do diễn đàn mình gặp sự cố không hề nhẹ nên topic giờ đây đã không còn . Hôm nay do nổi hứng của thằng đi thi không làm được bài, mình xin lập ra topic này nhằm tạo ra sân chơi cho các bạn yêu Toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng. Hi vọng sẽ nhận được sự hưởng ứng của các thành viên.
    Yêu cầu:
    1. Tuân thủ đúng nội quy của diễn đàn.
    2. Đề bài phải đánh số rõ ràng+tô đậm+tô màu xanh.
    3. Các lời giải phải giải trọn vẹn, không giải nữa vời!

    Một số bài toán của các thành viên trước đây:
    Bài 1: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^7+b^7+c^7=3$. Chứng minh rằng: $$(\dfrac{a^6+3}{4})^6+ (\dfrac{b^6+3}{4})^6+ (\dfrac{c^6+3}{4})^6 \geq \dfrac{36}{(1+a+b+c)(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c )}$$
    Bài 2: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}+\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2 }+ \dfrac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq 4$$
    Bài 3: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ca}+ \dfrac{c^3}{2c^2+ab} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(a+b+c)}$$
    Bài 4: (colia) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tích là $1$. Chứng minh rằng: \[ \left( 1+a^3 \right) \left( 1+b^3 \right) \left( 1+c^3 \right) +43 \ge 17(a+b+c)\]
    Bài 5: (hahahaha1) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$5\sum a^2+3abc \geq \sum a^3b+5\sum ab$$
    Bài 6: (HongAn39)Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}=\sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{2a+b+c}} + \sqrt{\dfrac{b^2+ca}{2b+c+a}}+ \sqrt{\dfrac{c^2+ab}{2c+a+b}}\geq \dfrac{1}{2}(\sqrt{a+1}+ \sqrt{b+1}+ \sqrt{c+1})$$
    Bài 7: (Lil.Tee)Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{b^2+\sqrt{c}}+ \dfrac{b}{c^2+\sqrt{a}}+ \dfrac{c}{a^2+\sqrt{b}} \geq \dfrac{3}{3-\sqrt[3]{abc}}$$
    Bài 8: (Ngô Hoàng Toàn) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. Chứng minh rằng: $$\sqrt{a^2+ \frac{17}{4}ab+b^2}+ \sqrt{b^2+ \frac{17}{4}bc+c^2}+\sqrt{c^2+ \frac{17}{4}ca+a^2} \geq \sqrt{2(a+b+c)^2+49}$$
    Bài 9: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2+b}{c(a^2+b+c)}+ \dfrac{b^2+c}{a(b^2+c+a)}+ \dfrac{c^2+a}{b(c^2+a+b)} \geq \dfrac{2(a\sqrt{a}+ b\sqrt{b}+ c\sqrt{c})}{3\sqrt[3]{abc}}$$
    Bài 10: (Ntspbc) Cho $a, b, c$ là các số không âm có tổng là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{\sqrt{a+b}}{a+1}+ \dfrac{\sqrt{b+c}}{b+1}+ \dfrac{\sqrt{c+a}}{c+1}$$
    Sửa lần cuối bởi HongAn39; 26/11/14 lúc 02:48 AM.

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Những bài mình sáng tác mới. Khi gặp sự cố trùng lặp bài viết thì nhờ mọi người nói mình, mình bỏ, chứ minh không thích là chômmmm bài người khác nhé. Mình sẽ cập nhập sáng tác liên tục.


    Bài 11: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực $a,b,c$ khác không. chứng minh rằng
    $$ \left(\dfrac{a-b}{a} \right)^2+\left(\dfrac{b-c}{b} \right)^2+\left(\dfrac{c-a}{c} \right)^2+\dfrac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \ge 6$$
    Bài 12: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực dương $a,b,c$. chứng minh rằng khi đó ta có
    $$(a+b+c)\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \ge \dfrac{8(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}+1$$
    Bài 13: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng khi đó ta cò
    $$1+2 \left( \dfrac{a}{2a+b}+\dfrac{b}{2b+c}+ \dfrac{c}{2c+a}\right)\ge 3 \left(\dfrac{ab}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{bc}{b^2+c^2+bc }+ \dfrac{ca}{c^2+a^2+ca}\right)$$
    Có gợi ý
    Bài 14: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
    $$\dfrac{a^2}{a^2-2a+4}+ \dfrac{b^2}{b^2-2b+4}+\dfrac{c^2}{c^2-2c+4}\ge 1$$
    Bài 15: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực không âm thoả $ab+bc+ca\neq 0$. Chứng minh rằng
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+ab+bc +ca} \ge \dfrac{7}{2}$$
    Có gợi ý
    Bài 16: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực âm $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca\neq 0$. Chứng minh rằng khi đó ta có
    $$ \dfrac{4a^2-(b+c)^2}{3b^2-4bc+3c^2}+\dfrac{4b^2-(c+a)^2}{3c^2-4ac+3a^2}+\dfrac{4c^2-(a+b)^2}{3b^2-4ab+3a^2} \ge 0$$
    Bài 17 ( tổng quát): (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực không âm $a,b,c$ và $m$ cũng là một số thực dương cho trước. Chứng minh rằng khi đó ta có
    $$ \dfrac{12(a^2-bc)+(m-8)(b-c)^2}{(4+m)b^2-2(m+1)bc+(4+m)c^2}+ \dfrac{12(b^2-ca)+(m-8)(c-a)^2}{(4+m)c^2-2(m+1)ca+(4+m)a^2} \\
    +\dfrac{12(c^2-ab)+(m-8)(a-b)^2}{(4+m)a^2-2(m+1)ab+(4+m)b^2}\ge 0$$
    Bài 18 ( tổng quát): (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực không âm $a,b,c,k$ thoả $ab+bc+ca \ne 0$ và $m$ cho trước. Chứng minh rằng
    $$ \dfrac{ab}{b+2kc+k^2a}+ \dfrac{bc}{c+2ka+k^2b}+ \dfrac{ca}{a+2kb+k^2c}\le \dfrac{a+b+c}{(1+k)^2}$$
    Bài giải

    Bài 19 ( tổng quát nhỏ): (khanhsy-boxmath.vn)
    Với các số thực không âm $x,y,z$ và các số thực dương $a,b,c$ cho trước sao cho $4ab\ge c^2$ thì ta luôn có:
    $$\sum_{cyclic}\dfrac{xy}{ax+by+cz}\le \dfrac{x+y+z}{a+b+c}$$

    Bài 20 (khanhsy-boxmath.vn)
    Chứng minh rằng trong $\Delta ABC$ ta luôn có
    $$\sum_{cyc}\dfrac{sinA}{sinB+sinC}\left(tan\dfrac {B}{2}+tan\dfrac{C}{2} \right)\ge \sqrt{3}$$
    Sửa lần cuối bởi khanhsy; 11/11/14 lúc 02:58 PM.

  3. #3
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 12: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực dương $a,b,c$. chứng minh rằng khi đó ta có
    $$(a+b+c)\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \ge \dfrac{8(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}+1$$
    Ta đưa về BĐT tương đương là $$\dfrac{(a+b)^2}{ab}+ \dfrac{(b+c)^2}{bc}+ \dfrac{(a+c)^2}{ca}\geq \dfrac{8(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}+4$$ Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có: $$\dfrac{(a+b)^2}{ab}+ \dfrac{(b+c)^2}{bc}+ \dfrac{(a+c)^2}{ca}\geq \dfrac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \geq \dfrac{8(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}+1$$ Do $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$.
    Vậy ta có đpcm.

  4. Cám ơn khanhsy, khotam, ayefany, vuduy, LittlePrince đã cám ơn bài viết này
  5. #4
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 11: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực $a,b,c$ khác không. chứng minh rằng
    $$ \left(\dfrac{a-b}{a} \right)^2+\left(\dfrac{b-c}{b} \right)^2+\left(\dfrac{c-a}{c} \right)^2+\dfrac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \ge 6$$
    Không giảm tính tổng quát, ta giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$, suy ra $(a-b)(b-c)\geq 0$.
    Lúc này, sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có: $$\sum(\dfrac{a-b}{a})^2=\dfrac{(a-b)^2}{a^2}+\dfrac{(b-c)^2}{b^2}+ \dfrac{(a-c)^2}{c^2}\geq \dfrac{4(a-c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$ Vậy để chứng minh BĐT ban đầu ta chỉ cần chứng minh được: $$4(a-c)^2+2(a+b+c)^2\geq 6(a^2+b^2+c^2)$$
    Hay $$4(a-b)(b-c)\geq 0$$
    Điều trên đúng. Vậy ta có đpcm.
    Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

  6. Cám ơn khanhsy, khotam, hbtoanag, ayefany, LittlePrince đã cám ơn bài viết này
  7. #5
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 15: (khanhsy-boxmath.vn)
    Cho các số thực không âm thoả $ab+bc+ca\neq 0$. Chứng minh rằng
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+ab+bc +ca} \ge \dfrac{7}{2}$$
    Có gợi ý

    [
    $P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+ab+bc +ca}$
    $=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+ \dfrac{c^2}{ca+cb}+\dfrac{8(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+a b+bc+ca}$
    $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\dfrac{8(ab+bc+ca)} {(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$
    $=\dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{2(ab+bc+ca)}+\dfrac{8 (ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}$
    $\geq 2\sqrt{\dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{2(ab+bc+ca)}. \dfrac{8(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}}-\dfrac{1}{2}$
    $=4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

  8. Cám ơn khanhsy, ayefany đã cám ơn bài viết này
  9. #6
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Long Kiến, An Giang
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    46
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 19 ( tổng quát nhỏ): (khanhsy-boxmath.vn)
    Với các số thực không âm $x,y,z$ và các số thực dương $a,b,c$ cho trước sao cho $4ab\ge c^2$ thì ta luôn có:
    $$\sum_{cyclic}\dfrac{xy}{ax+by+cz}\le \dfrac{x+y+z}{a+b+c}$$
    Ta có $\frac{xy}{ax+by+cz}=\frac{4axy}{2a(2ax+cz)+c(2az+ cy)+(4ab-{{c}^{2}})y}$.

    Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
    \[\frac{xy}{ax+by+cz}\le \frac{4axy}{{{\left( 2a+c+\tfrac{4ab-{{c}^{2}}}{2a+c} \right)}^{2}}}\left[ \frac{2a}{2ax+cz}+\frac{c}{2az+cy}+\frac{\tfrac{4a b-{{c}^{2}}}{2a+c}}{(2a+c)y} \right]\]
    Tương tự, ta có
    \[\frac{yz}{ay+bz+cx}\le \frac{4ayz}{{{\left( 2a+c+\tfrac{4ab-{{c}^{2}}}{2a+c} \right)}^{2}}}\left[ \frac{2a}{2ay+cx}+\frac{c}{2ax+cz}+\frac{\tfrac{4a b-{{c}^{2}}}{2a+c}}{(2a+c)z} \right]\],
    \[\frac{zx}{az+bx+cy}\le \frac{4azx}{{{\left( 2a+c+\tfrac{4ab-{{c}^{2}}}{2a+c} \right)}^{2}}}\left[ \frac{2a}{2az+cy}+\frac{c}{2ay+cx}+\frac{\tfrac{4a b-{{c}^{2}}}{2a+c}}{(2a+c)x} \right]\].
    Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta nhận được

    $\sum{\frac{xy}{ax+by+cz}}\le \frac{4a{{(2a+c)}^{2}}}{{{\left[ {{(2a+c)}^{2}}+4ab-{{c}^{2}} \right]}^{2}}}\left[ x+y+z+\frac{4ab-{{c}^{2}}}{{{(2a+c)}^{2}}}(x+y+z) \right]$

    $=\frac{4a{{(2a+c)}^{2}}}{{{\left[ {{(2a+c)}^{2}}+4ab-{{c}^{2}} \right]}^{2}}}\left[ \frac{{{(2a+c)}^{2}}+4ab-{{c}^{2}}}{{{(2a+c)}^{2}}} \right](x+y+z)$

    $=\frac{4a}{{{(2a+c)}^{2}}+4ab-{{c}^{2}}}(x+y+z)=\frac{x+y+z}{a+b+c}$.

  10. Cám ơn khanhsy,  Ntspbc, ayefany, letatanu đã cám ơn bài viết này
  11. #7
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Anh Sỹ post lại bài 21, 22 đễ em còn giải ạ

  12. Cám ơn ayefany đã cám ơn bài viết này
  13. #8
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Bài 21: (khanhsy-boxmath.vn)


    Cho các số thực dương $a,b,c,$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$P_1:=(a+b)(a+bc)+(b+c)(b+ca)+(c+a)(c+ab)\ge 4(ab+bc+ca)$$
    $$P_2:=\sum_{cyc}(a+bc) \left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\ge 2\sqrt{3}\sqrt{ab+bc+ca}$$

  14. Cám ơn ayefany, hbtoanag đã cám ơn bài viết này
  15. #9
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 21: (khanhsy-boxmath.vn)


    Cho các số thực dương $a,b,c,$ thoả mãn $a b c=3$. Chứng minh rằng $$P_1:=(a b)(a bc) (b c)(b ca) (c a)(c ab)\ge 4(ab bc ca)$$
    $$P_2:=\sum_{cyc}(a bc) \left( \dfrac{a}{b c} \dfrac{b}{c a}\right)\ge 2\sqrt{3}\sqrt{ab bc ca}$$
    Ta cũng có
    * $\sum \sqrt[3]{(a--b)(a--bc)}\geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{2}}(\sqrt[3]{3}--\sqrt[3]{\sum ab})$
    * (khanhsy-boxmath.vn) $\sum (a--b)(a--bc)\ge 12$, với $\sum ab=3$.
    Sửa lần cuối bởi Ntspbc; 11/11/14 lúc 09:52 PM.

  16. #10
    Thành Viên Chính Thức hahahaha1's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    12
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bài 21: (khanhsy-boxmath.vn)


    Cho các số thực dương $a,b,c,$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$P_1:=(a+b)(a+bc)+(b+c)(b+ca)+(c+a)(c+ab)\ge 4(ab+bc+ca)$$
    $$P_2:=\sum_{cyc}(a+bc) \left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\ge 2\sqrt{3}\sqrt{ab+bc+ca}$$
    1.
    $$(a+b)(a+bc)+(b+c)(b+ca)+(c+a)(c+ab)\ge 4(ab+bc+ca)$$
    $$<=>a^2+b^2+c^2+\sum_{cyc}a^2b+3abc \ge 3(ab+bc+ca)$$
    $$<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+3(a^2b+b^2c+c^2a)+9abc \ge 3(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
    $$<=>\sum_{cyc}b(a-b)^2 \ge 0$$
    2.
    $$P_2 \ge \sum_{cyc}\dfrac{(a+bc)(a+b)^2}{2ab+ac+bc} \ge \dfrac{[\sum_{cyc}(a+bc)(a+b)]^2}{\sum_{cyc}(a+bc)(2ab+ac+bc)}$$
    $$\sum_{cyc}(a+bc)(2ab+ac+bc)=3(ab+bc+ca)+3abc+(bc +ca+ca)^2+ a^2b+b^2c+c^2a$$
    $$\le 3(ab+bc+ca)+3abc+3(ab+bc+ca)+\sum a^2b=6(ab+bc+ca)+3abc+\sum a^2b$$
    $$ \le 2[a^2+b^2+c^2+3abc+ab+bc+ca+\sum a^2b]$$
    $$=2. \sum_{cyc}(a+bc)(a+b)$$
    Editing...............

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi Ntspbc Xem bài viết
    * (khanhsy-boxmath.vn) $\sum (a+b)(a+bc)\ge 12$, với $\sum ab=3$.
    Editing...............
    Sửa lần cuối bởi hahahaha1; 14/11/14 lúc 02:26 AM.
    You gotta deal with it

  17. Cám ơn khanhsy, ayefany đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 10 123 ... CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này