Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán:

    Cho các số thực $a,b,c \ge 1$ thỏa mãn $a + b + c = 6$. Chứng minh rằng $\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \le 216$

  2. Cám ơn Dương Minh Chánh đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    26
    Cám ơn (Đã nhận)
    22
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Cho các số thực $a,b,c \ge 1$ thỏa mãn $a + b + c = 6$. Chứng minh rằng $\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \le 216$

    Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số a,b,c phải tồn tại ít nhất hai số cùng lớn hơn hoặc cùng bé hơn 2. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a,b \ge 2$
    Khi đó:
    \[\begin{array}{l}
    (a - 2)(b - 2) \ge 0\\
    \Leftrightarrow ({a^2} - 4)({b^2} - 4) \ge 0\\
    \Leftrightarrow {a^2}{b^2} + 16 \ge 4({a^2} + {b^2})\\
    \Leftrightarrow ({a^2} + 2)({b^2} + 2) \le \frac{3}{2}{(ab)^2} + 12
    \end{array}\]
    Ta quy về chứng minh $(\frac{3}{2}{(ab)^2} + 12)({c^2} + 2) \le 216(*)$ với $2 \le a,b \le 3,1 \le c \le 2,a + b + c = 6$
    Thật vậy, ta có: $ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} = \frac{{{{(6 - c)}^2}}}{4}$
    Suy ra: $(*) \Leftrightarrow \left[ {{{(c - 6)}^4} + 128} \right]({c^2} + 2) \le 216,1 \le c \le 2$
    Ta chứng minh BĐT trên bằng việc xét hàm.
    Vậy ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra a=b=c=2

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Thầy xem dùm em ạ!

  4. #3
    Super Moderator Ngã Nhậm Hành's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Cho các số thực $a,b,c \ge 1$ thỏa mãn $a + b + c = 6$. Chứng minh rằng $\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \le 216$
    Đánh giá nhầm mất rồi.
    Người học trò hay nhất của tôi là người không bao giờ đồng ý với tôi.

  5. Cám ơn Dương Minh Chánh đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    26
    Cám ơn (Đã nhận)
    22
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Đánh giá nhầm mất rồi.
    Dạ nhầm chỗ nào ạ?

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này