Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán:

    Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $\left( {a + b + 2c} \right)\left( {b + c + 2a} \right)\left( {c + a + 2b} \right) = 1$. Chứng minh rằng:
    \[\frac{a}{{b\left( {4c + 15} \right){{\left( {b + 2c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{c\left( {4a + 15} \right){{\left( {c + 2a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{a\left( {4b + 15} \right){{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{3}\]

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức davidsilva98's Avatar
    Ngày tham gia
    Nov 2014
    Đến từ
    THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
    Tuổi
    20
    Bài viết
    11
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $\left( {a + b + 2c} \right)\left( {b + c + 2a} \right)\left( {c + a + 2b} \right) = 1$. Chứng minh rằng:
    \[\frac{a}{{b\left( {4c + 15} \right){{\left( {b + 2c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{c\left( {4a + 15} \right){{\left( {c + 2a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{a\left( {4b + 15} \right){{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{3}\]
    Đây là bài thi Olympic Chuyên Khoa học Tự nhiên năm 2014. Một lời cho bài bất đẳng thức này là:
    Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta được $$\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}=\sum \frac{\left (\frac{a}{b+2c} \right )^{2}}{ab(4c+15)}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a}{b+2c} \right )^{2}}{12abc+15(ab+bc+ca)}$$
    Mà $$\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$$
    Do đó, ta cần chứng minh $$12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3\Rightarrow 4abc+5(ab+bc+ca)\leq 1$$
    Lại có: $$1=\prod (a+b+2c)\leq \frac{64}{27}.(a+b+c)^{3}\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{4}$$
    Do đó: $$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1\Rightarrow 2(a+b+c)^{3}+(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc=1$$
    $$\Rightarrow 1\geq 7(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc\geq \frac{21}{4}(ab+bc+ca)+abc\Rightarrow \sum ab\leq \frac{4(1-abc)}{21}$$
    $$\Rightarrow 4abc+5(ab+bc+ca)\leq 5\left ( \frac{4}{21}-\frac{4}{21}abc \right )+4abc=\frac{64abc}{21}+\frac{20}{21}$$
    Suy ra cần chứng minh $$\frac{64abc}{21}+\frac{20}{21}\leq 1\Rightarrow abc\leq \frac{1}{64}\, (*)$$
    Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được $$1\geq \prod \left ( 4\sqrt[4]{abc^{2}} \right )=64abc\Rightarrow abc\leq \frac{1}{64}$$
    Dẫn đến $(*)$ đúng. Vậy ta được $$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}+\frac{b}{c(4a+15)(c +2a)^{2}}+\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$$
    Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

  3. Cám ơn lequangnhat20,  Ntspbc, hbtoanag, lilac đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này