Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    198

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    18
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147
    Trích dẫn Gửi bởi HongAn39 Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.Chứng minh rằng: $$\frac{1}{(a 2b)^{2}} \frac{1}{(b 2c)^{2}} \frac{1}{(c 2a)^{2}}\geq \frac{1}{ab bc ca}$$
    HongAn39 có thể post lời giải 0? Mình đã cố giải nhưng vẫn hông ra :-)Thanks.

  4. #3
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    18
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    261
    Đáp án của Hongan39
    TH1: $4(ab+bc+ca) \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$.Sử dụng BDT B.C.S ta có:
    $\sum \dfrac{1}{(a+2b)^{2}} \geq \dfrac{[(a+2c)+(b+2a)+(c+2b)]^{2}}{\sum (a+2b)^{2}(a+2c)^{2}}=\dfrac{9(a+b+c)^{2}}{(a+b+c) ^4+18(ab+bc+ca)^{2}}$


    Từ đây suy ra


    BDT $<=> 9(\sum a)^{2}(\sum ab)\geq (\sum a)^{4} +18(\sum ab)^2$
    $<=>(\sum a^{2} -\sum ab)(4\sum ab - \sum a^2) \geq 0.$Đúng.


    TH2:$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 4(ab+bc+ac).$
    Không mất tính tổng quát giả sử a là số lớn nhất trong 3 số $a,b,c$


    $\rightarrow a(a-2b-2c)\geq a^{2}+b^{2}+c^{2} -4(ab+bc+ca) +b(a-b)+c(a-c)+4bc\geq 0$
    nên ta có $a>2b+2c$
    Bây giờ sử dụng BDT AM-GM,ta được:
    $\dfrac{1}{(a+2b)^{2}}+\dfrac{1}{(b+2c)^{2}} \geq \dfrac{2}{(a+2b)(b+2c)}.$
    Lại có $ \dfrac{2}{(a+2b)(b+2c)} - \dfrac{1}{ab+bc+ac}$
    = $\dfrac{b(a-2b-2c)}{(a+2b)(b+2c)(ab+bc+ac)} \geq 0.$Từ đó ta có đpcm.
    Bài toán được chứng minh xong.Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  5. Cám ơn HongAn39 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này