Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Tuổi
    28
    Bài viết
    8
    Cám ơn (Đã nhận)
    6


    $1):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.Chứng mình rằng
    $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
    $2):$Cho $a,b,c$ là các số thực tuỳ ý.Chứng minh rằng
    $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi Casio Xem bài viết
    $1):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.Chứng mình rằng
    $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
    $2):$Cho $a,b,c$ là các số thực tuỳ ý.Chứng minh rằng
    $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

    Bài 1 bình phương hai vế là ra liềm luôn
    Bài 2 chú ý ta chỉ cần chứng minh với $a^2,b^2,c^2$ là 3 cạnh tam giác

    Hiển nhiên chúng ta chỉ cần xét trong trường hợp $a^2,b^2,c^2$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức được viết lại như sau
    $$\left[a^2-(b-c)^2 \right]\left[b^2-(c-a)^2 \right]\left[c^2-(a-b)^2 \right]\ge (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2) $$
    Nhưng ta lại có
    $$\left[a^2-(b-c)^2 \right]^2-(a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)=2(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)$$
    Vậy nên
    \begin{align}\left[a^2-(b-c)^2 \right]^2 \ge (a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2) \label{tt25}\\
    \left[b^2-(c-a)^2 \right]^2 \ge (b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)\label{tt26}\\
    \left[c^2-(a-b)^2 \right]^2\ge (a^2+c^2-b^2)(c^2+b^2-a^2)\label{tt27}\end{align}
    Từ \eqref{tt25}, \eqref{tt26} và \eqref{tt27} nhân vế theo vế cùng chiều thì bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$ và hoán vị.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bình phương vế trái ta được
    \begin{align}\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+ \dfrac{ca}{b} \right)^2=\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+ \dfrac{c^2a^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2) \label{tt23}\end{align}
    Do việc ghép đối xứng thì ta có
    \begin{align} \dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{c^2 a^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2 \label{tt24} \end{align}
    Từ \eqref{tt23} và \eqref{tt24} ta thu được
    $$\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \right)^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)$$
    Vậy nên bài toán được chứng minh.

  3. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này