Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ
    ------------------
    Định lý: $\forall a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ ta luôn có:
    1) ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
    2) ${\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$

    Hệ quả: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ ta luôn có: $\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} + \frac{{{z^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}$

    BÀI TẬP

    Bài 1: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}\left( {c + 2a} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^3}\left( {a + 2b} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3}\left( {b + 2c} \right)}} \ge 1$

    Bài 2: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\frac{{3a}}{{3 + a}} + \frac{{4b}}{{4 + b}} + \frac{{5c}}{{5 + c}} \le \frac{{12\left( {a + b + c} \right)}}{{12 + \left( {a + b + c} \right)}}$

    Bài 3: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {4 + {b^2}} + \sqrt {9 + {c^2}} \ge \sqrt {36 + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} $

    Bài 4: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\sqrt {5{a^2} + {b^2} + ab} + \sqrt {5{b^2} + {c^2} + bc} + \sqrt {5{c^2} + {a^2} + ca} \ge \sqrt 7 \left( {a + b + c} \right)$

    Bài 5: $\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }$ và $a + 2b = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \sqrt {1 + {a^2}} + 2\sqrt {1 + {b^2}} $.

  2. Cám ơn kalezim16, hbtoanag, Success Nguyễn, khotam, Tinpee PT, xuanthienict đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Long Kiến, An Giang
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    46
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài 1: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}\left( {c + 2a} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^3}\left( {a + 2b} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3}\left( {b + 2c} \right)}} \ge 1$
    Xét đại diện $\frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{3}}(c+2a)}=\frac{27{{a}^{4 }}}{{{(3b)}^{3}}(c+2a)}\ge {{4}^{4}}.27{{\left( \frac{a}{2a+9b+c} \right)}^{4}}$.

    Khi đó

    $P\ge {{4}^{4}}.27\left[ {{\left( \frac{a}{2a+9b+c} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{b}{2b+9c+a} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{c}{2c+9a+b} \right)}^{4}} \right]$

    $\ge {{4}^{4}}.9{{\left[ {{\left( \frac{a}{2a+9b+c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{2b+9c+a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{c}{2c+9a+b} \right)}^{2}} \right]}^{2}}$

    $\ge {{4}^{4}}{{\left[ \frac{a}{2a+9b+c}+\frac{b}{2b+9c+a}+\frac{c}{2c+9a +b} \right]}^{4}}$

    $\ge {{4}^{4}}{{\left[ \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^ {2}})+10(ab+bc+ca)} \right]}^{4}}\ge {{4}^{4}}{{\left[ \frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{4{{(a+b+c)}^{2}}} \right]}^{4}}=1$.

    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài 4: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\sqrt {5{a^2} + {b^2} + ab} + \sqrt {5{b^2} + {c^2} + bc} + \sqrt {5{c^2} + {a^2} + ca} \ge \sqrt 7 \left( {a + b + c} \right)$
    Xét đại diện

    $\sqrt{5{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}=\sqrt{\frac{8{{a}^ {2}}+({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+{{(a+b)}^{2}}}{2}}$

    $\ge \sqrt{\frac{8{{a}^{2}}+\frac{3{{(a+b)}^{2}}}{2}}{2 }}=\sqrt{\frac{4{{(2a)}^{2}}+3{{(a+b)}^{2}}}{4}} \ge \frac{8a+3(a+b)}{2\sqrt{7}}=\frac{11b+3b}{2\sqrt{7 }}$.

    Do đó $VT\ge \frac{14(a+b+c)}{2\sqrt{7}}=\sqrt{7}(a+b+c)$.
    Sửa lần cuối bởi hbtoanag; 20/10/14 lúc 04:09 PM.

  4. Cám ơn chihao, lequangnhat20, khotam, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Tích Cực Pho Rum's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Miền cát trắng
    Tuổi
    19
    Bài viết
    75
    Cám ơn (Đã nhận)
    64
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài 3: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {4 + {b^2}} + \sqrt {9 + {c^2}} \ge \sqrt {36 + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} $
    Sử dụng BDT sau: (BDT Min-cốp-xki )

    $\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{e^2+f^2}$ $\ge$ $\sqrt{(a+c+e)^2 + (b+d+f)^2}$

    Có ngay đpcm .

    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài 5: $\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }$ và $a + 2b = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \sqrt {1 + {a^2}} + 2\sqrt {1 + {b^2}} $.
    Áp dụng BĐT phụ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ $\ge$ $\sqrt{a+b}$

    Và BDT: $\sqrt{2.(a^2+4b^2)}$ $\ge$ $1=a+2b$

  6. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ
    ------------------
    Định lý: $\forall a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ ta luôn có:
    1) ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
    2) ${\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$

    Hệ quả: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ ta luôn có: $\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} + \frac{{{z^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}$

    BÀI TẬP

    Bài 1: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}\left( {c + 2a} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^3}\left( {a + 2b} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3}\left( {b + 2c} \right)}} \ge 1$
    $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}\left( {c + 2a} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{{c^3}\left( {a + 2b} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3}\left( {b + 2c} \right)}}=$
    \[\begin{align}
    & \frac{{{a}^{4}}}{{{b}^{3}}\left( c+2a \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{{{c}^{3}}\left( a+2b \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{{{a}^{3}}\left( b+2c \right)}=\frac{{{\left( \frac{{{a}^{2}}}{b} \right)}^{2}}}{bc+2ab}+\frac{{{\left( \frac{{{b}^{2}}}{c} \right)}^{2}}}{ac+2bc}+\frac{{{\left( \frac{{{c}^{2}}}{a} \right)}^{2}}}{ab+2ac} \\
    & \ge \frac{{{\left( \frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{c}+\frac{{{c} ^{2}}}{a} \right)}^{2}}}{3\left( ab+bc+ca \right)}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3(ab+bc+ca)}\ge 1 \\
    \end{align}\]

  7. Cám ơn leminhansp, xuanthienict đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Moderator Success Nguyễn's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Hưng Nguyên, Nghệ An
    Tuổi
    21
    Bài viết
    178
    Cám ơn (Đã nhận)
    225
    Bài 2:
    $\frac{3a}{3+a}-3+\frac{4b}{4+b}-4+\frac{5c}{5+c}-5\leq \frac{12\left ( a+b+c \right )}{12+a+b+c}-12$
    $\Leftrightarrow \frac{9}{3+a}+\frac{16}{4+b}+\frac{25}{5+c}\geq \frac{144}{12+a+b+c}$
    Ta có: $ \frac{9}{3+a}+\frac{16}{4+b}+\frac{25}{5+c}\geq \frac{\left ( 3+4+5 \right )^{2}}{3+4+5+a+b+c}=\frac{144}{12+a+b+c}$ (dpcm)

  9. Cám ơn chihao, khotam đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ
    ------------------
    Định lý: $\forall a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ ta luôn có:
    1) ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
    2) ${\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$

    Hệ quả: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ ta luôn có: $\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} + \frac{{{z^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}$


    Bài 3: $\forall a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }$ . Chứng minh rằng: $\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {4 + {b^2}} + \sqrt {9 + {c^2}} \ge \sqrt {36 + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} $

    .
    Bình phương 2 vế ta được :
    $1+a^2+4+b^2+9+c^2+2\sqrt{(1+a^2)(4+b^2)}+2\sqrt{( 1+a^2)(4+b^2)}+2\sqrt{(1+a^2)(4+b^2)}\geq 36+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
    $\Leftrightarrow \sqrt{(1+a^2)(4+b^2)}+\sqrt{(4+b^2)(9+c^2)}+\sqrt{ (9+c^2)(1+a^2)}\geq 11+ab+bc+ca$
    Áp dụng BDT Cauchy- shwarz ta có $\sqrt{(1+a^2)(4+b^2)}\geq 2+ab$
    $ \sqrt{(4+b^2)(9+c^2)}\geq 6+bc$
    $\sqrt{(9+c^2)(1+a^2)}\geq 3+ca$
    Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

  11. Cám ơn chihao, xuanthienict đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này