Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227


    Bài 1. (Kiên Giáng.
    a. $x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2$:
    b. $\sin^4x+\cos^4x+\frac{2}{\sin^4x}+\frac{2}{\cos^4 x}=16+\frac{\sin2x}{2}$
    Bài 2. (KHTN)Giải hệ phương trình
    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy^{2}+3x^{2}}+3y\sqrt{y^{2}+3x}=8y\sqrt{x} \\ x^{2}y^{2}-1=3x^{2}+2y^{2}+\sqrt[3]{3x^{2}+3y^{2}+1} \end{matrix}\right.$
    Bài 3. (Chuyên Nguyễn Du)
    1. Giải phương trình $2x^{2}-3x+7=5\sqrt{x^{3}-2x^{2}-x+2}$

    2. Giải hệ phương trình
    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy^{2}+3x^{2}}+3y\sqrt{y^{2}+3x}=8y\sqrt{x}\ \ x^{2}y^{2}-1=3x^{2}+2y^{2}+\sqrt[3]{3x^{2}+3y^{2}+1} \end{matrix}\right.$
    Bài 4. (Thái Bình)
    Giải hệ phương trình trên tập số thực :
    $$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2} \end{matrix}\right.$$
    Bài 5. (Chuyên Hà Tĩnh)
    Giải hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
    Bài 6.(Lâm Đồng)
    Giải hệ $\left\{\begin{matrix}\left ( x+y \right )^3-27x=5\left ( \sqrt[3]{32x-15}-3-y \right ) & \\ 2x^3=y\left ( y^2+x^2 \right ) & \end{matrix}\right.$
    Bài 7. (Quảng Trị)
    Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right ) (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0 (2) & \end{matrix}\right.$
    Bài 8.(Chuyên ĐHV)
    Giải phương trình $\left ( x^2+x \right )^2+\left ( x-1 \right )^2=\left ( x^2+1 \right )\sqrt{x-x^2}$.
    Bài 9.
    Người học trò hay nhất của tôi là người không bao giờ đồng ý với tôi.

  2. Cám ơn  $T_G$, Trần Duy Tân, phatthemkem, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Success Nguyễn's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Hưng Nguyên, Nghệ An
    Tuổi
    21
    Bài viết
    178
    Cám ơn (Đã nhận)
    225
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 1. (Kiên Giáng.
    a. $x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2$:
    PT$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}^{2}-\sqrt{\left ( x+2 \right )\left ( 5-x \right )}+2\sqrt{5-x}-2\sqrt{x+2}=0$
    $\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+2}-2 \right )\left ( \sqrt{x+2}-\sqrt{5-x} \right )=0$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 3. (Chuyên Nguyễn Du)
    1. Giải phương trình $2x^{2}-3x+7=5\sqrt{x^{3}-2x^{2}-x+2}$
    Pt$\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}-3x+2 \right )+3\left ( x+1 \right )=5\sqrt{\left ( x^{2}-3x+2 \right )\left ( x+1 \right )}$
    Với ĐK: -1≤x≤1 hoặc x≥2
    Ta có: $\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}-3x+2}-\sqrt{x+1} \right )\left ( 2\sqrt{x^{2}-3x+2}-3\sqrt{x+1} \right ) =0$

  4. Cám ơn cuong18041998, Trần Duy Tân, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Tích Cực cuong18041998's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 6.(Lâm Đồng)
    Giải hệ $\left\{\begin{matrix}\left ( x+y \right )^3-27x=5\left ( \sqrt[3]{32x-15}-3-y \right ) & \\ 2x^3=y\left ( y^2+x^2 \right ) & \end{matrix}\right.$
    $PT(1) \Leftrightarrow (x + y)^3 + 5(x + y) = (32x - 15) + 5\sqrt[3]{32x - 15}$

    $\Leftrightarrow f(x + y) = f\left ( \sqrt[3]{32x - 15} \right )$
    (Vì hàm $f(t) = t^3 + 5t$ luôn đồng biến)

    $\Leftrightarrow (x + y)^3 = 32x - 15$
    Sửa lần cuối bởi cuong18041998; 16/10/14 lúc 07:26 PM.
    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  6. Cám ơn Tran Le Quyen, Trần Duy Tân, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator Success Nguyễn's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Hưng Nguyên, Nghệ An
    Tuổi
    21
    Bài viết
    178
    Cám ơn (Đã nhận)
    225
    Trích dẫn Gửi bởi cuong18041998 Xem bài viết
    $PT(1) \Leftrightarrow (x + y)^3 + 5(x + y) = (32x - 15) + \sqrt[3]{32x - 15}$

    $\Leftrightarrow f(x + y) = f\left ( \sqrt[3]{32x - 15} \right ) $ (*)
    (Vì hàm $f(t) = t^3 + t$ luôn đồng biến)

    $\Leftrightarrow (x + y)^3 = 32x - 15$
    Phần còn lại
    PT(2)$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( 2x^{2}+xy+y^{2} \right )=0$
    $\Leftrightarrow x=y$
    Thay vào (*) ta có:
    $8x^{3}-32x+15=0\Leftrightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x-15 \right )=0$

  8. Cám ơn cuong18041998, Trần Duy Tân, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành Viên Chính Thức davidsilva98's Avatar
    Ngày tham gia
    Nov 2014
    Đến từ
    THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
    Tuổi
    19
    Bài viết
    11
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 8.(Chuyên ĐHV)
    Giải phương trình $\left ( x^2+x \right )^2+\left ( x-1 \right )^2=\left ( x^2+1 \right )\sqrt{x-x^2}\;\;(*)$.
    Điều kiện xác định $x-x^{3}\geq 0$

    Ta có: $$(*)\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )^{2}-2\left ( x-x^{3} \right )=\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x-x^{3}}$$
    Đặt $\left\{\begin{matrix}
    x^{2}+1=a\;\left ( a\geq 1 \right )\\ \sqrt{x-x^{3}}=b\;\left ( b\geq 0 \right )

    \end{matrix}\right.$. Phương trình trở thành

    $$a^{2}-2b^{2}=ab\Leftrightarrow \left ( a-2b \right )\left ( a+b \right )=0\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow x^{2}+1=\sqrt{x-x^{3}}$$
    $$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )^{2}=4\left ( x-x^{3} \right )\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0\Leftrightarrow \left ( x^{2}+2x-1 \right )^{2}=0$$
    $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-1=0\Leftrightarrow x=\begin{Bmatrix}
    \sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1
    \end{Bmatrix}$$
    Thử lại thấy thỏa. Vậy $S=\begin{Bmatrix}
    \sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1
    \end{Bmatrix}$

  10. Cám ơn Trần Duy Tân, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Thành Viên Chính Thức davidsilva98's Avatar
    Ngày tham gia
    Nov 2014
    Đến từ
    THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
    Tuổi
    19
    Bài viết
    11
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 4. (Thái Bình)
    Giải hệ phương trình trên tập số thực :
    $$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\;\;(1)\\ 2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2} \;\;(2)\end{matrix}\right.$$
    Điều kiện xác định $xy;x+y-1;4x^2-3x-y+2\geq 0$

    Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được $$\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \right )^{2}\leq 2\left ( xy+\frac{x^{2}+y^{2}}{2} \right )=\left ( x+y \right )^{2}$$$$\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\leq x+y$$
    Mà theo $(1)$ ta có $$x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\Leftrightarrow x+y=\sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$$ Suy ra đẳng thức xảy ra khi $x=y\geq 0$

    Thế vào $(2)$ ta được $$2014^{2x-1}-\left ( 2x-1 \right )=\sqrt{4x^{2}-4x+2}\;\;(3)$$
    Đặt $2x-1=t\,\left ( t\geq 0 \right )$. Khi đó $(3)$ trở thành $$2014^{t}-t=\sqrt{t^{2}+1}\Leftrightarrow 2014^{t}-t-\sqrt{t^{2}+1}=0\;\;(*)$$
    Nếu $t\geq 1$ thì theo bất đẳng thức Bernoulli ta được $2014^{t}\geq 1+2013t$. Khi đó $$t+\sqrt{t^{2}+1}\geq 1+2013t\Leftrightarrow t^{2}+1\geq \left ( 1+2012t \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( 2012^{2}-1 \right )t^{2}+4024t\geq 0$$ Điều này không thể xảy ra nên $0\leq t< 1$

    Xét hàm số $f\left ( t \right )=2014^{t}-t-\sqrt{t^{2}+1}$ với $t\in [0;1)$. Khi đó
    $$f'\left ( t \right )=2014^{t}.ln2014-1-\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}\geqslant ln2014-1-\frac{t}{\sqrt{2t}}$$$$\Rightarrow f'\left ( t \right )\geq ln2014-1-\sqrt{\frac{t}{2}}> ln2014-1-\sqrt{\frac{1}{2}}>0$$
    Do đó $f(t)$ là hàm số đồng biến. Mà $f(0)=0$ nên $t=0$ là nghiệm của phương trình $(*)$

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left ( x;y \right )=\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$

    Một số bài toán thi HSG và chọn đội tuyển VMO của các tỉnh năm 2014-2015
    Bài toán 9. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ)
    Giải hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix}
    \sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{y^{2}+xy+2x^{2}}=2( x+y)\\ \left ( 8y-6 \right )\sqrt{x-1}=\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )\left ( y+4\sqrt{y-2}+3 \right )
    \end{matrix}\right.\left ( x,y \in R\right )$$
    Bài toán 10. (chọn đội tuyển VMO Bắc Ninh)
    Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất $$\sqrt[4]{-x^{2}+4x+12}+2\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x} \right )=m$$
    Bài toán 11. (Chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu)
    Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}
    2\sqrt{y+1}-\sqrt{2(x+y)}=x-y-2\\\ 3\sqrt{3y-2x+6}-\sqrt{y^{2}-3}=x+1

    \end{matrix}\right.$$

  12. Cám ơn Trần Duy Tân, lequangnhat20,  $T_G$, chihao, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Bài 12 Hà Giang
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    {2^x} + {2^{2 - y}} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0\\
    {y^2} + 15y - xy + 2x + 5 = 0
    \end{array} \right.\]
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  14. #8
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Apr 2015
    Đến từ
    Trường THPT số I Đức Phổ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    8
    Cám ơn (Đã nhận)
    9
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Bài 5. (Chuyên Hà Tĩnh)
    Giải hệ phương trình:
    $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
    Xét hàm số $f\left ( x \right )=3x^3+2x^2$ có tập xác định $\mathbb{R}$, khi đó hệ trở thành:
    $\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )=y\\ f\left ( y \right )=z\\ f\left ( z \right )=x \end{matrix}\right.\Rightarrow f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right )=x\Leftrightarrow f\left ( x \right )=x$
    Suy ra $3x^3+2x^2=x\Leftrightarrow x=0\vee x=\frac{1}{3}\vee x=-1$
    Tương tự ta cũng tìm ra $y,z.$

  15. Cám ơn chihao, lequangnhat20, F7T7, toiyeutoan, trancao101010710 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này