Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán: (Thi HSG TP HCM 2014)

    Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left( {2f(x) + y} \right) = x + f\left( {2f(y) - x} \right),\forall x,y \in \mathbb{R}.$

  2. #2
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: (Thi HSG TP HCM 2014)

    Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left( {2f(x) + y} \right) = x + f\left( {2f(y) - x} \right),\forall x,y \in \mathbb{R}.$
    Bài giải

    Cho $y = - 2f(x)$ ta được $f(0) = x + f\left( {2f\left( { - 2f(x)} \right) - x} \right)$ hay $f(0) - x = f\left( {2f\left( { - 2f(x)} \right) - x} \right)$
    Với mọi số thực y nếu chọn $z = 2f\left( { - 2f\left( {f(0) - y} \right)} \right) - \left( {f(0) - y} \right)$ thì ta có $f(z) = y$
    Suy ra f toàn ánh.
    Do đó, tồn tại số a sao cho f(a) = 0.
    Cho x = a ta được $f(y) = a + f\left( {2f(y) - a} \right)$ hay $f(y) - a = f\left( {2f(y) - a} \right),\forall y \in R$ (1)
    Do f toàn ánh nên với mọi số thực x tồn tại y sao cho $2f(y) - a = x$ , kết hợp với (1) ta có $f(x) = \frac{{x - a}}{2}$
    Ta dễ dàng kiểm tra được $f(x) = \frac{x}{2} + c$ (c là hằng số) thỏa mãn điều kiện đã cho.

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này