Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán: (Thi HSG TP Cần Thơ)

    Cho 2014 số thực dương ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_{2014}}$ thỏa mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} + ... + {a_{2014}} = 2014$. Chứng minh rằng :
    $\frac{{a_1^{20}}}{{a_2^{11}}} + \frac{{a_2^{20}}}{{a_3^{11}}} + ... + \frac{{a_{2013}^{20}}}{{a_{2014}^{11}}} + \frac{{a_{2014}^{20}}}{{a_1^{11}}} \ge 2014$.

  2. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: (Thi HSG TP Cần Thơ)

    Cho 2014 số thực dương ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_{2014}}$ thỏa mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} + ... + {a_{2014}} = 2014$. Chứng minh rằng :
    $\frac{{a_1^{20}}}{{a_2^{11}}} + \frac{{a_2^{20}}}{{a_3^{11}}} + ... + \frac{{a_{2013}^{20}}}{{a_{2014}^{11}}} + \frac{{a_{2014}^{20}}}{{a_1^{11}}} \ge 2014$.


    Với hai số thực dương $ \displaystyle a,b $ , dùng AM - GM có
    $$ \frac{a^{20}}{b^{11}} + 11b + 8 \ge 20 \sqrt[20]{a^{20}} = 20a $$
    Hay
    $$ \frac{a^{20}}{b^{11}} \ge 20a - 11b -8 $$
    Đặt
    $$ P = \frac{a_1^{20}}{a_2^{11}} + \frac{a_2^{20}}{a_3^{11}} + \cdots + \frac{a_{2013}^{20}}{a_{2014}^{11}} + \frac{a_{2014}^{20}}{a_1^{11}} $$
    Ta thấy
    $$ P \ge \left( 20 a_1 -11a_2 -8 \right) + \left( 20 a_2 -11a_3 -8 \right) + \cdots + \left( 20 a_{2013} -11a_{2014} -8 \right) + \left( 20 a_{2014} -11a_1 -8 \right) \\
    = 9 \cdot 2014 - 8 \cdot 2014 = 2014$$
    Đó là điều cần chứng minh .

  3. Cám ơn chihao, Trần Duy Tân, tinilam đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    27
    Cám ơn (Đã nhận)
    30
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: (Thi HSG TP Cần Thơ)

    Cho 2014 số thực dương ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_{2014}}$ thỏa mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} + ... + {a_{2014}} = 2014$. Chứng minh rằng :
    $\frac{{a_1^{20}}}{{a_2^{11}}} + \frac{{a_2^{20}}}{{a_3^{11}}} + ... + \frac{{a_{2013}^{20}}}{{a_{2014}^{11}}} + \frac{{a_{2014}^{20}}}{{a_1^{11}}} \ge 2014$.
    Cách khác: (Dài hơn)
    Không khó để chứng minh $a_1^5+a_2^5+\ldots+a_{2014}^5\ge 2014$ bằng Engel
    Lại có: $\dfrac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+a_2\ge 2\dfrac{a_1^{10}}{a_2^5}$
    Như vậy ta có: $P+2014 \ge 2 \left(\dfrac{a_1^{10}}{a_2^5}+\dfrac{a_2^{10}}{a_3 ^5}+\ldots+\dfrac{a_{2014}^{10}}{a_1^5}\right) \ge 2(a_1^5+a_2^5+\ldots+a_{2014}^5)\ge 2.2014$
    Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng khi $a_i=1$.

  5. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này