Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    235


    Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm của đoạn $AB$ và $N$ là điểm của đoạn $AC$ sao cho $AN=3NC $. Viết phương trình đường thẳng $CD$ biết rằng $M(1;2)$ và $N(2;-1)$.
    Lời giải 1:
    Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và đường thẳng $CD$ ta có $\triangle CNK$ đồng dạng với $\triangle ANM$ theo tỉ số $\frac13$
    nên $\overrightarrow{KN}=\frac13\overrightarrow{NM}$ do đó $K=\left(\frac73 ;-2 \right)$ Suy ra $MK=\frac43\sqrt{10}$.
    Gọi $H(x;y)$ là trung điểm $CD$ và $a$ là độ dài cạnh hình vuông, ta có $MH=a, AM=HC=\frac12a$.
    Theo 2 tam giác đồng dạng ở trên ta được $CK=\frac13AM=\frac16a$ nên $KH=CH-CK=\frac13a$.
    Tam giác $MHK$ vuông tại $H$ nên
    $MK^2=MH^2+KH^2\iff\frac{160}{9}=a^2+\frac19a^2 \iff a=4$
    $H$ thỏa $ \begin{cases} HM=4 \\ \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{KH}=0 \end{cases} \iff\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=16 \\(x-1)\left(x-\frac73\right)+(y-2)(y+2)=0 \end{cases}$
    $\iff \left[ \begin{array}{ll} x=1;&y=-2 \\ x=\frac{17}{5};&y=-\frac{6}{5} \end{array} \right.\implies\left[\begin{array}{l}H(1 ;-2)\\ H\left(\frac{17}{5} ;-\frac65 \right)\end{array}\right.$
    $\star$ Với $H(1;-2 )$,
    Đường thẳng $CD$ đi qua $K$ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( 0;4 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $0.\left( x-\frac73 \right)+4\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow y+2=0$
    $\star$ Với $H\left( \frac{17}{5};-\frac{6}{5} \right)$, Đường thẳng $CD$ đi qua $K$ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( -\frac{12}{5};\frac{16}{5} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $-\frac{12}{5}.\left( x-\frac73 \right)+\frac{16}{5}\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-15=0$

  2. Cám ơn chihao, Tran Le Quyen, trantruongsinh_dienbien,  cokeu14, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban quản trị hungchng's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    235
    Lời giải 2
    Gọi $C\left( x,y \right)$ ta có: $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{CN}\implies A(-3x+8 ;-3y-4 )$.
    Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $B(3x-6 ;3y+8 )$.
    $ABCD$ là hình vuông nên $\begin{cases}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ CB}=0 \\ AB=CB \end{cases}$
    $\iff \begin{cases}(6x-14)(2x-6)+(6y+12)(2y+8)=0 \\ (6x-14)^2+(6y+12)^2=(2x-6)^2+(2y+8)^2 \end{cases}$
    $\iff \begin{cases}3 x^2+3 y^2-16 x+18 y+45 = 0 \\ 2 x^2+2 y^2-9 x+7 y+15 = 0 \end{cases}\iff \left[ \begin{array}{ll} x=3;&y=-2 \\ x=\frac{9}{5};&y=-\frac{12}{5} \end{array} \right.$
    $\star$ Với $C\left( 3;-2 \right)$ $\implies B(3;2)$
    Ta có đường thẳng $CD$ đi qua $C$ nhận vecto $\overrightarrow{CB}=\left( 0;4 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $0.\left( x-3 \right)+4\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow y+2=0$
    $\star$ Với $C\left( \frac{9}{5};-\frac{12}{5} \right)$ $\implies B\left( -\frac{3}{5};\frac{4}{5} \right)$
    Ta có đường thẳng $CD$ đi qua $C$ nhận vecto $\overrightarrow{CB}=\left( -\frac{12}{5};\frac{16}{5} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $-\frac{12}{5}.\left( x-\frac{9}{5} \right)+\frac{16}{5}\left( y+\frac{12}{5} \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-15=0$

  4. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, Kim Chi đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Lời giải 3:
    Gọi độ dài cạnh hình vuông ABCD là a > 0 $$ \Rightarrow AM = \frac{a}{2},AC = a\sqrt 2 $$
    Từ AN = 3NC $$ \Rightarrow AN = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$$
    áp dụng định lý cosin cho $$\Delta AMN$$ với $$MN = \sqrt {10} $$ ta được a = 4.
    Từ $$\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {NK} $$ ta tính được $$K\left( {\frac{7}{3}; - 2} \right)$$
    nên (CD) có phương trình dạng: $$c\left( {x - \frac{7}{3}} \right) + d(y + 2) = 0,\,\,\,\left( {{c^2} + {d^2} \ne 0} \right)$$
    Từ $$d(N,CD) = \frac{a}{4} = 1$$ ta tính được c và d. Kết quả như các lời giải trên.
    Sửa lần cuối bởi trantruongsinh_dienbien; 22/08/14 lúc 01:57 AM. Lý do: Gõ thử Latex

  6. Cám ơn chihao,  cokeu14,  $T_G$, Kim Chi đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Ban quản trị hungchng's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    235
    Lời giải 4
    Đặt cạnh hình vuông là $a$ ta được $AM=\frac12a, AN=\frac34a\sqrt2$.
    Tam giác $AMN$ có $\widehat{MAN}=45^o$ theo định lý cosin :
    $M{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AM.AN\cos 45^o$
    $\iff 1^2+3^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{8}a^2-a\frac{3a\sqrt{2}}{4}\frac{1}{\sqrt2}\iff a=4$.
    Gọi $I\left( x,y \right)$ là tâm của hình vuông $ABCD$ ta có :
    $ \begin{cases}
    IM=2 \\
    IN=\sqrt{2}
    \end{cases} \iff \begin{cases}
    {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 \\
    {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2
    \end{cases} \iff \left[ \begin{array}{ll}
    x=1;&y=0 \\
    x=\frac{11}{5};&y=\frac{2}{5} \\
    \end{array} \right.$
    $\star$ Với $I\left( 1;0 \right)$, Ta có $N$ là trung điểm của $IC\Rightarrow C\left( 3;-2 \right)$.
    Ta có đường thẳng CD đi qua C nhận vecto $\overrightarrow{IM}=\left( 0;2 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $0.\left( x-3 \right)+2\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow y+2=0$
    $\star$ Với $I\left( \frac{11}{5};\frac{2}{5} \right)$, Ta có $N$ là trung điểm của $IC\Rightarrow C\left( \frac{9}{5};-\frac{12}{5} \right)$.
    Ta có đường thẳng $CD$ đi qua $C$ nhận vecto $\overrightarrow{IM}=\left( -\frac{6}{5};\frac{8}{5} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $-\frac{6}{5}.\left( x-\frac{9}{5} \right)+\frac{8}{5}\left( y+\frac{12}{5} \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-15=0$

  8. Cám ơn chihao,  $T_G$, Kim Chi đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Ban quản trị hungchng's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    235
    Lời giải 5:
    Đặt cạnh hình vuông là $a$ ta được $AM=\frac12a, AN=\frac34a\sqrt2$.
    Tam giác $AMN$ có $\widehat{MAN}=45^o$ theo định lý cosin :
    $M{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AM.AN\cos 45^o$
    $\iff 1^2+3^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{8}a^2-a\frac{3a\sqrt{2}}{4}\frac{1}{\sqrt2}\iff a=4$.
    Gọi $A\left( x,y \right)$ ta có :
    $ \begin{cases} AM=2 \\ AN=3\sqrt{2} \end{cases}
    \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=4 \\ (x-2)^2+(y+1)^2=18 \end{cases}
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=-1;&y=2 \\ x=\frac{13}{5};&y=\frac{16}{5} \end{array} \right.$
    $\star$ Với $A(-1;2 )$, Ta có $\overrightarrow{AN}=\frac34\overrightarrow{AC} \Rightarrow C\left( 3;-2 \right)$ và trung điểm $AC$ là $I(1;0)$.
    Đường thẳng $CD$ đi qua $C$ nhận vecto $\overrightarrow{IM}=\left( 0;2 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $0.\left( x-3 \right)+2\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow y+2=0$
    $\star$ Với $A\left( \frac{13}{5};\frac{16}{5} \right)$, Ta có $\overrightarrow{AN}=\frac34\overrightarrow{AC} \Rightarrow C\left( \frac{9}{5};-\frac{12}{5} \right)$ và trung điểm $AC$ là $I\left( \frac{11}{5};\frac{2}{5} \right)$.
    Ta có đường thẳng $CD$ đi qua $C$ nhận vecto $\overrightarrow{IM}=\left( -\frac{6}{5};\frac{8}{5} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $-\frac{6}{5}.\left( x-\frac{9}{5} \right)+\frac{8}{5}\left( y+\frac{12}{5} \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-15=0$

  10. Cám ơn Kim Chi đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Ban quản trị hungchng's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    235
    Lời giải 6
    Đặt cạnh hình vuông là $a$ ta được $AM=\frac12a, AN=\frac34a\sqrt2$.
    Tam giác $AMN$ có $\widehat{MAN}=45^o$ theo định lý cosin :
    $M{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2AM.AN\cos 45^o$
    $\iff 1^2+3^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{9}{8}a^2-a\frac{3a\sqrt{2}}{4}\frac{1}{\sqrt2}\iff a=4$.
    Gọi $H\left( x,y \right)$ là trung điểm $CD$ ta có $HN=NC$ nên:
    $ \begin{cases} HM=4 \\ HN=\sqrt2 \end{cases}
    \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=16 \\ (x-2)^2+(y+1)^2=2 \end{cases}
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=1;&y=-2 \\ x=\frac{17}{5};&y=-\frac{6}{5} \end{array} \right.$
    $\star$ Với $H(1;-2 )$,
    Đường thẳng $CD$ đi qua $H$ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( 0;4 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $0.\left( x-1 \right)+4\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow y+2=0$
    $\star$ Với $H\left( \frac{17}{5};-\frac{6}{5} \right)$, Đường thẳng $CD$ đi qua $H$ nhận $\overrightarrow{HM}=\left( -\frac{12}{5};\frac{16}{5} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên phương trình $CD$ là
    $-\frac{12}{5}.\left( x-\frac{17}{5} \right)+\frac{16}{5}\left( y+\frac{6}{5} \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-15=0$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này