Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán: (Thi chọn HSG TP Cần Thơ 2014)

    Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + xy + 2{x^2}} = 2(x + y)\\
    (8y - 6)\sqrt {x - 1} = \left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + 4\sqrt {y - 2} + 3} \right)
    \end{array} \right.\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})$.

  2. Cám ơn hbtoanag đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    27
    Cám ơn (Đã nhận)
    30
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: (Thi chọn HSG TP Cần Thơ 2014)

    Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + xy + 2{x^2}} = 2(x + y)\\
    (8y - 6)\sqrt {x - 1} = \left( {2 + \sqrt {x - 2} } \right)\left( {y + 4\sqrt {y - 2} + 3} \right)
    \end{array} \right.\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})$.
    Điều kiện: $x,y\ge 2$
    Ta có:
    $\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+xy+2x^2}$
    $=\sqrt{ \dfrac{(x+y)^2}{2}+ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac{3y^2}{2} } + \sqrt{ \dfrac{(x+y)^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{3x^2}{2} }$
    $ \ge \sqrt{ 2(x+y)^2+\dfrac{(x+y)^2}{2}+\dfrac{3(x+y)^2}{2} }=2(x+y)$
    Dấu bằng xảy ra khi $x=y$.
    Thay vào phương trình $(2)$ và đặt $u=\sqrt{x-2}$ ta có:
    $(2)\Leftrightarrow (2\sqrt{u^2+1})^3+(2\sqrt{u^2+1})=(u+2)^2+(u+2)$.
    Hàm số $f(t)=t^3+t$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty)$ nên ta có:
    $2\sqrt{u^2+1}=u+2 \Leftrightarrow u=0\ \vee u=\dfrac{4}{3}$
    Với $u=0$ suy ra: $x=2=y$.
    Với $u=\dfrac{4}{3}$ suy ra: $x=\dfrac{34}{9}=y$.

  4. Cám ơn chihao, hbtoanag, chuyentoanltt đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này