Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán 1:

    Cho $x,y,z > 0$, $x + y + z \le \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    \[P = x + y + z + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\]

  2. Cám ơn hbtoanag đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 2:

    Cho $x,y,z > 0$ và thỏa mãn $xy + yz + zx = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    \[P = 9xyz\left( {x + y + z} \right) + \frac{4}{{9{x^2}{y^2}{z^2}}}\]

  4. Cám ơn hbtoanag đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Long Kiến, An Giang
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    46
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 1:

    Cho $x,y,z > 0$, $x + y + z \le \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    \[P = x + y + z + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\]
    Ta có
    \[P\ge x+y+z+\frac{9}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge x+y+z+\frac{27}{{{(x+y+z)}^{2}}}=f(t),t=x+y+z\].
    Hàm $f$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{3}{2} \right]$ nên $f(t)\ge f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{27}{2}$.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 2:

    Cho $x,y,z > 0$ và thỏa mãn $xy + yz + zx = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    \[P = 9xyz\left( {x + y + z} \right) + \frac{4}{{9{x^2}{y^2}{z^2}}}\]
    Ta có $1={{(xy+yz+zx)}^{2}}\ge 3xyz(x+y+z)$.
    $\Rightarrow xyz(x+y+z)\le \frac{1}{3}$.
    Nhận thấy
    $9{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}=9xyz\sqrt[3]{xyz}\sqrt[3]{(xy)(yz)(zx)}\le xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz(x+y+z)$
    Do đó
    $P\ge 9xyz(x+y+z)+\frac{4}{xyz(x+y+z)}=f(t),t=xyz(x+y+z) \le \frac{1}{3}$.
    Do $f$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{1}{3} \right]$ nên $f(t)\ge f\left( \frac{1}{3} \right)=15,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{3} \right]$.

  6. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này