Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{{9{x^2}{{\sin }^2}x + 4}}{{x\sin x}}$ với $0 < x < \pi $.
    Với $ 0< x<\pi $ đặt $ t=x\sin x\Longrightarrow t\in D $, ta có
    \begin{align*}
    g(t)=\frac{9t^2+4}{t}=9t+\frac{4}{t}\\
    g'(t)=9-\frac{4}{t^2}=0\iff t=\pm\frac 23
    \end{align*}
    Ta sẽ chỉ ra $ \frac 23\in D $ và do đó, dựa vào bảng biến thiên có được $ \min_D g(t)=g(\frac23) $. Để xác định $ D $, xét
    \[ f(x)=x\sin x \]
    ta có
    \begin{align*}
    f'(x)=\sin x+x\cos x\\
    f''(x)= 2\cos x-x\sin x
    \end{align*}
    Ta có $ f'(x)> 0,\quad \forall\; 0<x<\frac{\pi}{2} $. Ta xét $ \frac{\pi}{2}\le x<\pi $, khi đó vì $ \cos x<0, x\sin x>0 $ nên $ f''(x)<0 $. Suy ra trên miền $ (\frac{\pi}{2},\pi) $, pt $ f'(x)=0 $ có tối đa 1 nghiệm. Lại thấy $ f'(\frac{\pi}{2}).f(\frac{2\pi}{3})<0 $ nên $ f'(x) $ có đúng một nghiệm $ x_0\in \left (\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right ) $. Dựa vào bảng biến thiên của $ f(x) $ thấy $ f(x)\in D=(0;f(x_0)] $ và $ f(x_0)>f(\frac{2\pi}{3})>1>\frac 23 $. Tức là $ \frac 23\in D $ như yêu cầu.
    Sửa lần cuối bởi Tran Le Quyen; 07/10/14 lúc 11:25 AM.

  3. Cám ơn cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator Ngã Nhậm Hành's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    Với $ 0< x<\pi $ đặt $ t=x\sin x\Longrightarrow t\in D $, ta có
    \begin{align*}
    g(t)=\frac{9t^2+4}{t}=9t+\frac{4}{t^2}\\
    g'(t)=9-\frac{8}{t^3}=0\iff t=\sqrt[3]{\frac 89}
    \end{align*}
    Ta sẽ chỉ ra $ \sqrt[3]{\frac 89}\in D $ và do đó $ \min_D g(t)=g(\sqrt[3]{\frac 89}) $. Để xác định $ D $, xét
    \[ f(x)=x\sin x \]
    ta có
    \begin{align*}
    f'(x)=\sin x+x\cos x\\
    f''(x)= 2\cos x-x\sin x
    \end{align*}
    Ta có $ f'(x)> 0,\quad \forall\; 0<x<\frac{\pi}{2} $. Ta xét $ \frac{\pi}{2}\le x<\pi $, khi đó vì $ \cos x<0, x\sin x>0 $ nên $ f''(x)<0 $. Suy ra trên miền $ (\frac{\pi}{2},\pi) $, pt $ f'(x)=0 $ có tối đa 1 nghiệm. Lại thấy $ f'(\frac{\pi}{2}).f(\frac{2\pi}{3})<0 $ nên $ f'(x) $ có đúng một nghiệm $ x_0\in \left (\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right ) $. Dựa vào bảng biến thiên của $ f(x) $ thấy $ f(x)\in D=(0;f(x_0)] $ và $ f(x_0)>f(\frac{2\pi}{3})>\sqrt[3]{\frac 89} $. Tức là $ \sqrt[3]{\frac 89}\in D $ như yêu cầu.
    Chắc nhầm chỗ màu đỏ

  5. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Đồng Nai
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    8
    vấn đề là từ chỗ "Ta có"

  7. #5
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    40
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{{9{x^2}{{\sin }^2}x + 4}}{{x\sin x}}$ với $0 < x < \pi $.
    Xét hàm số $f(x)=x\sin x$ với $x\in (0;\,\pi)$, do $f(x)>0\;\forall\,x\in (0;\,\pi)$ nên\[\frac{{9{x^2}{{\sin }^2}x + 4}}{{x\sin x}} = 12 + \frac{{{{\left( {3x\sin x - 2} \right)}^2}}}{{x\sin x}} \ge 12\,\,\forall \,x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \pi } \right);\;(*)\]Mặt khác hàm số $f(x)$ liên tục trên miền đã xét nên $g(x)=f(x)-\dfrac{2}{3}$ cũng vậy, đồng thời do\[g\left( 0 \right)g\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{2}{3}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{2}{3}} \right) < 0\] cho nên theo định lý hàm liên tục thì tồn tại $c\in (0;\,\pi)$ sao cho $g(c)=0$ dẫn đến tồn tại $c$ sao cho $f(c)=\dfrac{2}{3}$.

    Vậy tức là tồn tại $x=c$ sao cho giá trị của biểu thức đề ra bằng 12, và kết hợp với $(*)$ ta có được giá trị nhỏ nhất cần tìm là 12.

  8. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này