Bài toán:

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. Tìm hằng số tốt nhất của $k$ để bất đẳng thức sau đúng:

\[\frac{1}{{1 + 9bc + k{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{1 + 9ca + k{{(c - a)}^2}}} + \frac{1}{{1 + 9ab + k{{(a - b)}^2}}} \ge \frac{1}{2}\]