Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227

  2. #2
    Super Moderator Ngã Nhậm Hành's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}$
    Em này đẹp thử đánh tí xem sao.
    Ta có $a^2+b^2+c^2=\left ( a+b+c \right )^2-2\left ( ab+bc+ca \right ),\left ( ab+bc+ca \right )^2\geq 3abc\left ( a+b+c \right )$.
    Khi đó $P\geq \frac{1}{1-2t}+\frac{3}{t^2},t=ab+bc+ca,0<t\leq \frac{1}{3}$.

  3. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    8
    Cám ơn (Đã nhận)
    2
    Trích dẫn Gửi bởi Ngã Nhậm Hành Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}$
    Ta có ${(a + b + c)^2} \geqslant 3(ab + bc + ca)$ và $(ab + bc + ca)(a + b + c) \geqslant 9abc$ nên
    $ab + bc + ca \leqslant \dfrac{1}{3} $ và $ab + bc + ca \geqslant 9abc$.
    Do đó $$P \geqslant \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{9}{{ab + bc + ca}}$$
    $$=\frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{{ab + bc + ca}} + \frac{7}{{ab + bc + ca}}$$
    $$\geq \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2(ab + bc + ca)}} + 21 = 30.$$
    Vậy GTNN của $P$ bằng 30 đạt được khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.

  4. Cám ơn Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này