Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10


    Cho các số dương $x;\,y;\,z$, thay đổi và có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\[P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\]

  2. #2
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    27
    Bài viết
    25
    Cám ơn (Đã nhận)
    35
    Đặt $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3$ $\left(\dfrac{1}{x}\right.$ + $\dfrac{1}{y}$ + $\left.\dfrac{1}{z}\right)$ với $x+y+z=3$. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x\ge y\ge z$, suy ra $x\in[1;3)$.
    Xét $f(x,y,z)-f\left(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2}\right)=3(y-z)^2\left(\dfrac{yz(y+z)^2-4}{4yz(y+z)}\right)$
    Ta có $yz(y+z)^2-4\le \dfrac{(y+z)^2}{4}(y+z)^2=$ $\dfrac{(y+z)^4}{4}$ $=\dfrac{(3-x)^4}{4}$. Khảo sát hàm số $g(t)=\dfrac{(3-t)^4}{4},t\in[1;3)$ ta được $4> g(t)\ge 0$. Từ đây có $f(x,y,z)-f\left(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2}\right)\le 0$ hay $f(x,y,z)\le f\left(x,\dfrac{3-x}{2},\dfrac{3-x}{2}\right)$
    Phần tìm GTLN cho hàm một biến mình chưa tìm ra vì hàm này tương đối khó quá.
    Nothing Is Impossible.

  3. #3
    Thành Viên Chuyên Nghiệp anhduy98's Avatar
    Ngày tham gia
    Jul 2015
    Tuổi
    19
    Bài viết
    321
    Cám ơn (Đã nhận)
    242
    Trích dẫn Gửi bởi Duy Hoài Xem bài viết
    Cho các số dương $x;\,y;\,z$, thay đổi và có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\[P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\]
    Giả sử $x$ bé nhất $\rightarrow 0< x\leq 1$

    $P=x^{3}+\left ( y+z \right )^{3}-3yz\left ( y+z \right )-\frac{3}{x}-\frac{3\left ( y+z \right )}{yz}$

    $P=x^{3}+\left ( y+z \right )^{3}-\frac{3}{x}-3\left ( y+z \right )\left ( yz+\frac{1}{yz} \right )$

    $P\leq x^{3}+\left ( 3-x \right )^{3}-\frac{3}{x}-6\left ( 3-x \right )=\frac{3\left ( 2x-1 \right )^{2}\left ( 3x-4 \right )}{4x}-\frac{21}{4}$

    $\rightarrow max{P}=-\frac{21}{4}. Khi : \left ( x=y=\frac{1}{2};z=2 \right )$ và các hoán vị .

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này