Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938

  2. #2
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 1\\
    {u_2} = 2014\\
    {u_{n + 2}} = \sqrt[{2015}]{{u_{n + 1}^{2014}{u_n}}}
    \end{array} \right.$
    Hãy tìm $\mathop {\lim {u_n}}\limits_{n \to + \infty \begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{}
    \end{array}} $.
    Em chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới nhưng có vấn đề ......thầy chỉ giúp em ạ
    Nếu được thầy post đáp án luôn ạ
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  3. #3
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Em chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới nhưng có vấn đề ......thầy chỉ giúp em ạ
    Nếu được thầy post đáp án luôn ạ
    Đặt ${y_n} = {\log _{2014}}{x_{n - 1}}$

  4. #4
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 1\\
    {u_2} = 2014\\
    {u_{n + 2}} = \sqrt[{2015}]{{u_{n + 1}^{2014}{u_n}}}
    \end{array} \right.$
    Hãy tìm $\mathop {\lim {u_n}}\limits_{n \to + \infty \begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{}
    \end{array}} $.
    Với mọi $n\ge 2$, ta có $$\ln{u_{n+1}}-\ln{u_{n}}=-\dfrac{1}{2015}\left(\ln{u_{n}}-\ln{u_{n-1}}\right)$$
    Đặt $v_{n}=\ln{u_{n+1}}-\ln{u_{n}}$.
    Ta được dãy số mới $(v_n)$ xác định bởi công thức $$\begin{cases}v_1=\ln{2014}\\
    v_{n}=-\dfrac{1}{2015}v_{n-1}, \forall n\ge 2\end{cases}$$
    Dãy số $(v_n)$ là CSN với số hạng đầu $v_1=\ln{2014}$ và công bội là $q=-\dfrac{1}{2015}$. Do đó $v_n=\dfrac{2015\ln{2014}}{2016}\left(1-\left(-\dfrac{1}{2015}\right)^n\right)$

  5. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  6. #5
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 2:

    Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} = 3\\
    {x_{n + 1}} = \frac{{x_n^2 + 3}}{{3{x_n}}},\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{\forall n = 1,2,3,...}
    \end{array}
    \end{array} \right.\quad $

    Chứng minh rằng dãy $\left( {{x_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

  7. #6
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 2:

    Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} = 3\\
    {x_{n + 1}} = \frac{{x_n^2 + 3}}{{3{x_n}}},\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{\forall n = 1,2,3,...}
    \end{array}
    \end{array} \right.\quad $

    Chứng minh rằng dãy $\left( {{x_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
    Xét hàm \[\begin{array}{l}
    f(t) = \frac{{{t^2} + 3}}{{3t}}\\
    f'(t) = \frac{{3({t^2} - 1)}}{{9{t^2}}}
    \end{array}\]
    Ta chứng minh được \[1 \le {u_n} \le 3\]
    nên hàm đồng biến trên khoảng trên
    Ta thấy $u_1 >u_3$, $u_2 <u_4$
    tiến hành xét 2 dãy $u_{2n+1}$ và $u_2n$
    không biết đoạn này đúng chưa thầy xem giùm em với ạ
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  8. #7
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Long Kiến, An Giang
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    46
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 2:

    Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} = 3\\
    {x_{n + 1}} = \frac{{x_n^2 + 3}}{{3{x_n}}},\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{\forall n = 1,2,3,...}
    \end{array}
    \end{array} \right.\quad $

    Chứng minh rằng dãy $\left( {{x_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
    Ta quy nạp được ${{x}_{n}}\in (1;\sqrt{3}),\forall n\ge 2$.

    Nhận thấy $f(t)=\frac{{{t}^{2}}+3}{3t}$ có ${f}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{3{{t}^{2}}}<0\forall t\in (1;\sqrt{3})$ nên $f$ giảm trên$(1;\sqrt{3})$.

    Lại có ${{x}_{2}}>{{x}_{4}}$ nên $f({{x}_{2}})<f({{x}_{4}})\Leftrightarrow {{x}_{3}}<{{x}_{5}}$.

    Quy nạp được ${{x}_{2}}>{{x}_{4}}>...>{{x}_{2k}}>...>1$ và ${{x}_{3}}<{{x}_{5}}<...<{{x}_{2k+1}}<...<\sqrt{3} $.

    Suy ra $({{x}_{2k}})$ và $({{x}_{2k+1}})$ đều hội tụ. Giả sử ${{x}_{2k}}\to a$ và ${{x}_{2k+1}}\to b$.
    Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{matrix}
    b=\frac{{{a}^{2}}+3}{3a} \\
    a=\frac{{{b}^{2}}+3}{3b} \\
    \end{matrix} \right.\Leftrightarrow a=b=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

    Vậy ${{x}_{n}}\to \frac{\sqrt{6}}{2}$.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bài toán 3

    Tìm số hạng tổng quát của dãy $({{u}_{n}})$ được xác định bởi

    ${{u}_{1}}=2014$, ${{u}_{n+1}}={{n}^{2}}{{u}_{n}}+n$, $\forall n\ge 1$.

  9. Cám ơn chihao, Viet_1846 đã cám ơn bài viết này
  10. #8
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Trích dẫn Gửi bởi hbtoanag Xem bài viết
    Tìm số hạng tổng quát của dãy $({{u}_{n}})$ được xác định bởi

    ${{u}_{1}}=2014$, ${{u}_{n+1}}={{n}^{2}}{{u}_{n}}+n$, $\forall n\ge 1$.
    Theo phương pháp quy nạp ta có $$u_n=\left((n-1)!\right)^2\left(u_1+1\right)+\frac{\left((n-1)!\right)^2}{2},\forall n\ge 3$$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này