Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 7 của 7
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 2:

    Cho $0 < a,b,c < 1$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{a}{{1 - {a^2}}} + \frac{b}{{1 - {b^2}}} + \frac{c}{{1 - {c^2}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 1:

    Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{{xyz}}$. Chứng minh rằng: $\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{{2z}}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} < 3$.
    Từ giả thiết ta có:
    $$xy+yz+zx<1$$
    Do đó suy ra:

    $$\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}<\frac{2x}{\sqrt{xy+yz+zx +x^2}}=\frac{2\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{(x+z)(x+y)} } \le \frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\\ \Rightarrow \sum \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}< \frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}=3 $$

    Từ đó có điều phải chứng minh!

  6. Cám ơn chihao, quỳnh như,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator lequangnhat20's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    885
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 2:

    Cho $0 < a,b,c < 1$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{a}{{1 - {a^2}}} + \frac{b}{{1 - {b^2}}} + \frac{c}{{1 - {c^2}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.
    ÁP dụng AM-GM 3 số :

    $2a^{2}(1-a^{2})(1-a^{2})\leq \frac{(2a^{2}+1-a^{2}+1-a^{2})^{3}}{3}$

    => $2a^{2}(1-a^{2})^{2}\leq \frac{8}{27}$

    => $a(1-a^{2})\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}a^{2}$

    Tương tự ta có :

    $\frac{b}{1-b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}b^{2}; \frac{c}{1-c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}c^{2}$


    Cộng 3 vế bất đẳng thức trên ta có :

    $\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

    $\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(ab+bc+ca)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

    Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
    NHẬT THUỶ IDOL

  8. Cám ơn chihao, quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 3:

    Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a + b = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    $S = 3\sqrt {1 + 2{a^2}} + 2\sqrt {40 + 9{b^2}}$.

  10. #6
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 4:

    Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    \[T = \frac{{{a^3} + 5}}{{{a^3}(b + c)}} + \frac{{{b^3} + 5}}{{{b^3}(c + a)}} + \frac{{{c^3} + 5}}{{{c^3}(a + b)}}\]

  11. #7
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Bài toán 5:

    Cho các số thực dương $z,y,z$. Chứng minh rằng:
    \[(xy + yz + zx)\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{1}{{{y^2} + {z^2}}}} \right) > \frac{5}{2}\]

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này