Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán:
    Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $M = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} + \frac{1}{{xyz + 3}}.$

  2. Cám ơn khotam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:
    Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $M = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} + \frac{1}{{xyz + 3}}.$
    HD: Sử dụng hai bất đẳng thức sau
    $\begin{array}{l}
    1 + yz \ge x\left( {y + z} \right)\\
    x + y + z - xyz \le 2
    \end{array}$

  4. Cám ơn lequangnhat20, trantruongsinh_dienbien đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    731
    Cám ơn (Đã nhận)
    938
    Trích dẫn Gửi bởi Đặng Thành Nam Xem bài viết
    HD: Sử dụng hai bất đẳng thức sau
    $\begin{array}{l}
    1 + yz \ge x\left( {y + z} \right)\\
    x + y + z - xyz \le 2
    \end{array}$
    Bài giải
    Ta có: ${x^2} + yz + x + 1 = x\left( {x + y + z + 1} \right) + \left( {1 - xy - xz + yz} \right)$
    $ = x\left( {x + y + z + 1} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x - y - z} \right)^2}$
    Suy ra: ${x^2} + yz + x + 1 \ge x\left( {x + y + z + 1} \right)$.
    Do đó: $\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} \le \frac{x}{{x + y + z + 1}}\,\,\,\,\left( 1 \right)$
    Mặt khác, theo bất đẳng thức BCS ta có:
    $\begin{array}{l}
    {\left( {x.\left( {1 - yz} \right) + \left( {y + z} \right).1} \right)^2} \le \left( {{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {1 - yz} \right)}^2} + 1} \right)\\
    = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2yz} \right)\left( {2 - 2yz + {y^2}{z^2}} \right)
    \end{array}$
    $ = 2\left( {1 + yz} \right)\left( {2 - 2yz + {y^2}{z^2}} \right) = 4\left( {1 - {y^2}{z^2}} \right) + 2\left( {1 + yz} \right){y^2}{z^2} = 4 + 2{y^2}{z^2}\left( {yz - 1} \right) \le 4$
    (vì $yz \le \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2} \le \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} = 2$ ), suy ra:
    $x.\left( {1 - yz} \right) + \left( {y + z} \right).1 \le 2\;\;{\rm{hay}}\;\;x + y + z \le 2 + xyz.$
    Do đó: $\frac{1}{{xyz + 3}} \le \frac{1}{{x + y + z + 1}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$
    Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $M \le \frac{x}{{x + y + z + 1}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} + \frac{1}{{x + y + z + 1}} = 1$
    Với $x = y = 1,z = 0$ thì $M = 1$ . Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ bằng $1$.

  6. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, Tran Le Quyen, khotam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này