Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán:

    Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{{{a^3}}}{{1 + 9{b^2}ac}} + \frac{{{b^3}}}{{1 + 9{c^2}ab}} + \frac{{{c^3}}}{{1 + 9{a^2}bc}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^3}}}{{18}}$

  2. #2
    Moderator Nguyễn Văn Quốc Tuấn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Đại học Y Hà Nội
    Tuổi
    22
    Bài viết
    97
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Ta có:
    \[\begin{array}{l}
    \frac{{{a^4}}}{{a + 9{a^2}{b^2}c}} + \frac{{{b^4}}}{{b + 9a{b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{c + 9{a^2}b{c^2}}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a + b + c + 9{a^2}{b^2}c + 9a{b^2}{c^2} + + 9{a^2}b{c^2}}}\\
    = \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a + b + c + 9abc\left( {ab + bc + ca} \right)}}
    \end{array}\]

    Mặt khác: \[9abc = 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \le \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = a + b + c\]
    Và ${\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{9}$

    Khi đó: \[\frac{{{a^4}}}{{a + 9{a^2}{b^2}c}} + \frac{{{b^4}}}{{b + 9a{b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{c + 9{a^2}b{c^2}}} \ge \frac{{\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{9}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{18}}\]

    Điều phải chứng minh.
    Ps: Lâu lắm mới dám làm bất đẳng thức

  3. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này