Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89


    Sửa lần cuối bởi $T_G$; 03/10/14 lúc 08:19 AM.

  2. Cám ơn quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Ta luôn có
    \begin{align*}
    \frac1{9abc}&\ge\frac1{3abc+\sum ab(a+b)}.
    \end{align*}
    Bây giờ, dùng AM-GM cho 3 số,
    \begin{align*}
    &\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac2{9abc}\ge
    \frac{1}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}+\frac2{3abc+\sum ab(a+b)}\\
    &\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{[(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)].[3abc+\sum ab(a+b)].[3abc+\sum ab(a+b)]}}\\
    &\ge3\sqrt[3]{\frac1{\frac1{27}\left [(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+3abc+\sum ab(a+b)+3abc+\sum ab(a+b)\right ]^3}}\\
    &=3\sqrt[3]{\frac1{\frac1{27}(a+b+c)^9}}=9\quad (1),\\
    &\frac{7}{9abc}\ge \frac{7}{\frac9{27}(a+b+c)^3}=21\quad (2).
    \end{align*}

    Cộng theo vế (1) và (2) thu được $ P\ge 30 $, đẳng thức khi $ a=b=c=\frac13 $.

  4. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Vơi ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c =1$. Tìm giá Trị nhỏ nhất của biểu thức $$ P=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{abc}$$
    Ta có: $3(ab+bc+ca)\le (a+b+c)^2\Rightarrow \dfrac{1}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{3}{(a+b+c)^2}$.
    Mặt khác: $$(ab+bc+ca)(a+b+c)\ge 9abc\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}$$
    Do đó:
    $$\begin{array}{ll}P&\ge \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{ 1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\\
    & \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}+\dfrac{21}{(a+b+c)^2}=30
    \end{array}$$

  6. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này