Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    885


    Chứng minh bdt sau luôn đúng với mọi số thực dương a,b,c bất kì :
    $(a^2 + 2)(b^2+ 2)(c^2+ 2) \geq 9(ab + bc + ca)$
    NHẬT THUỶ IDOL

  2. Cám ơn quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Viết BDT đã cho dưới dạng khai triển:
    \[ 2\sum a^2b^2+4\sum a^2+a^2b^2c^2+8\ge 9\sum ab\quad (1) \]
    Theo AM-GM,
    \[ a^2b^2c^2+1\ge 2abc,\quad \sum a^2b^2\ge\frac13\left (\sum ab\right )^2,\quad \left (\sum ab\right )^2+9\ge 6\sum ab.\]
    Theo đó
    \[ VT(1)\ge 4\sum ab+4\sum a^2+2abc+1 \]
    nên chỉ cần cm được
    \[ 4\sum a^2+2abc+1\ge 5\sum ab. \]
    Nhưng BDT này đúng do
    \[ \begin{cases}
    3\sum a^2\ge 3\sum ab,\\
    \sum a^2+2abc+1\ge 2\sum ab \quad (BDT\; Grinberg)
    \end{cases} \]
    CM hoàn tất.

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi lequangnhat20 Xem bài viết
    Chứng minh bdt sau luôn đúng với mọi số thực dương a,b,c bất kì :
    $(a^2 + 2)(b^2+ 2)(c^2+ 2) \geq 9(ab + bc + ca)$
    $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=3(1+a^2+b^2)(c^2+1+1)+(a^2-1)(b^2-1)(c^2+2) $$

    $$\ge 3(a+b+c)^2 +(a^2-1)(b^2-1)(c^2+2) $$

    $$ \ge 9(ab+bc+ca) +(a^2-1)(b^2-1)(c^2+2) $$

    Do đó bài toán được chứng minh nếu ta giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$

  6. Cám ơn lequangnhat20, Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Có một cách nữa tương tự dựa vào đẳng thức
    $\begin{array}{l}
    \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) - 3{\left( {a + b + c} \right)^2}\\
    = \frac{3}{2}{\left( {ac + bc - 2} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {2{{\left( {ab - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right)\\
    \Rightarrow \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 9\left( {ab + bc + ca} \right)
    \end{array}$

  8. Cám ơn lequangnhat20, Tran Le Quyen, luatdhv đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này