Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    31
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    Mọi Người giúp mình giải Hệ Phương trình sau nha , cảm ơn nhiều !

    1.$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=2 & \\ 4\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=7y& \end{matrix}\right.$
    2.$\large \left\{\begin{matrix} x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2 & \\ x\sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=3& \end{matrix}\right.$

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Bạn nên học cách ghi tiêu đề trong diễn đàn trước khi thảo luận.

  3. Cám ơn quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator lequangnhat20's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    885
    Trích dẫn Gửi bởi nguyenvantrung2014tc Xem bài viết
    Mọi Người giúp mình giải Hệ Phương trình sau nha , cảm ơn nhiều !

    1.$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=2 & \\ 4\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=7y& \end{matrix}\right.$
    Hình như có chút nhầm lẫn
    NHẬT THUỶ IDOL

  5. Cám ơn quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi nguyenvantrung2014tc Xem bài viết
    Mọi Người giúp mình giải Hệ Phương trình sau nha , cảm ơn nhiều !

    1.$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=2 & \\ 4\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=7y& \end{matrix}\right.$
    2.$\large \left\{\begin{matrix} x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2 & \\ x\sqrt{1+x^2}+y\sqrt{1+y^2}=3& \end{matrix}\right.$
    Đề chuẩn rồi 2 bài lấy ở đây:
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
    Hướng dẫn bài đầu bài sau tương tự và có nhiều cách khác hay hơn cách cho bài toán này
    Ñieàu kieän: $\left| x \right| \ge \sqrt 7 $.
    Hệ phương trình đã cho tương đương với: \[\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {{x^2} - 7} - \sqrt {{y^2} + 24} = 2 - x\\
    4\sqrt {{x^2} - 7} - \sqrt {{y^2} + 24} = 7y
    \end{array} \right.\].
    \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    3\sqrt {{x^2} - 7} = 7y + x - 2\\
    3\sqrt {{y^2} + 24} = 4x + 7y - 8
    \end{array} \right.\].
    Điều kiện trước tiên: \[\left\{ \begin{array}{l}
    7y + x - 2 \ge 0\\
    4x + 7y - 8 \ge 0
    \end{array} \right.\].
    Bình phöông hai veá ñöa veà heä phöông trình baäc hai toång quaùt.
    $\left\{ \begin{array}{l}
    8{x^2} + \left( {4 - 14y} \right)x - 49{y^2} + 28y - 67 = 0\\
    2{x^2} + \left( {7y - 8} \right)x + 5{y^2} - 14y - 19 = 0
    \end{array} \right.$.
    Đặt $a = {x^2},b = x,a = {b^2}$ hệ phương trình trở thành:
    $\left\{ \begin{array}{l}
    8a + \left( {4 - 14y} \right)b - 49{y^2} + 28y - 67 = 0\\
    2a + \left( {7y - 8} \right)b + 5{y^2} - 14y - 19 = 0
    \end{array} \right.$.
    Tương tự ta tính được $a = \frac{{91{y^3} - 124{y^2} + 301y - 204}}{{4\left( {7y - 6} \right)}},b = \frac{{ - 23{y^2} + 28y + 3}}{{2\left( {7y - 6} \right)}}$.
    Mặt khác do ${b^2} = {x^2} \ge 7 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 23{y^2} + 28y + 3}}{{2\left( {7y - 6} \right)}}} \right)^2} \ge 7{\rm{ }}(1)$.
    Mặt khác $a = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{91{y^3} - 124{y^2} + 301y - 204}}{{4\left( {7y - 6} \right)}} = {\left( {\frac{{ - 23{y^2} + 28y + 3}}{{2\left( {7y - 6} \right)}}} \right)^2}$.
    \[ \Leftrightarrow 12{y^4} - 14{y^3} + 245{y^2} - 378y + 135 = 0\].
    \[ \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {12{y^3} - 2{y^2} + 243y - 135} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = 4\].(đk).
    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)$.
    Cách 2: Ñaët $\left\{ \begin{array}{l}
    u = x + \sqrt {{x^2} - 7} \\
    v = y + \sqrt {{y^2} + 24}
    \end{array} \right.,\left( {v > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u^2} - 2ux + {x^2} = {x^2} - 7\\
    {v^2} - 2vy + {y^2} = {y^2} + 24
    \end{array} \right.$.
    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x = \frac{{{u^2} + 7}}{{2u}};y = \frac{{{v^2} - 24}}{{2v}}\\
    \sqrt {{x^2} - 7} = \frac{{{u^2} - 7}}{{2u}};\sqrt {{y^2} + 24} = \frac{{{v^2} + 24}}{{2v}}
    \end{array} \right.$. (Do $u = 0$ khoâng thoûa maõn heä phöông trình).
    Khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh: $\left\{ \begin{array}{l}
    u - \frac{{{v^2} + 24}}{{2v}} = 2\\
    4.\frac{{{u^2} - 7}}{{2u}} - \frac{{{v^2} + 24}}{{2v}} = 7.\frac{{{v^2} - 24}}{{2v}}
    \end{array} \right.$.
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u = \frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}\\
    2.\frac{{{u^2} - 7}}{u} = \frac{{4{v^2} - 72}}{v}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u = \frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}\\
    2.\frac{{{{\left( {\frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}} \right)}^2} - 7}}{{\frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}}} = \frac{{4{v^2} - 72}}{v}
    \end{array} \right.$.
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u = \frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}\\
    \frac{{{{\left( {{v^2} + 4v + 24} \right)}^2} - 28{v^2}}}{{{v^2} + 4v + 24}} = 4{v^2} - 72
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u = \frac{{{v^2} + 4v + 24}}{{2v}}\\
    \left( {v - 6} \right)\left( {3{v^3} + 26{v^2} + 144v + 384} \right) = 0
    \end{array} \right.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    u = 7\\
    v = 6
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x + \sqrt {{x^2} - 7} = 7\\
    y + \sqrt {{y^2} + 24} = 1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x = 4\\
    y = 1
    \end{array} \right.$.
    Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát $\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)$.
    Nhaän xeùt. Vôùi pheùp ñaët aån phuï nhö treân ta xöû lyù toaøn boä nhöõng heä phöông trình coù daïng:
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    {a_1}x + {b_1}\sqrt {{a^2}{x^2} + b} + {c_1}y + {d_1}\sqrt {{c^2}{y^2} + d} = e\\
    {a_2}x + {b_2}\sqrt {{a^2}{x^2} + b} + {c_2}y + {d_2}\sqrt {{c^2}{y^2} + d} = f
    \end{array} \right.\].
    Phép đặt ẩn phụ \[\left\{ \begin{array}{l}
    u = ax + \sqrt {{a^2}{x^2} + b} \\
    v = cy + \sqrt {{c^2}{y^2} + d}
    \end{array} \right.\] là phép đặt ẩn phụ khử căn thức dạng Euler (xem theâm chuû ñeà heä phöông trình chöù caên thöùc).

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này