Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    921


    Bài toán:

    Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 4$
    Chứng minh rằng:
    $\frac{{ab + 1}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} \ge 3$

  2. Cám ơn Tinpee PT,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Điều kiện có thể viết thành $ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\le 2 $. Khi đó
    \begin{align}
    2ab+2\ge 2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=(a+b)^2+(c+a)(c+b)
    \end{align}
    Suy ra
    \begin{align*}
    2\sum\frac{ab+1}{(a+b)^2}&\ge\sum\frac{(a+b)^2+(c+ a)(c+b)}{(a+b)^2}\\&=3+\sum\frac{(a+b)(a+c)}{(b+c) ^2}
    \end{align*}
    Vậy chỉ cần cm
    \[ \sum\frac{(a+b)(a+c)}{(b+c)^2}\ge3. \]
    Kết quả này dễ có nhờ áp dụng trực tiếp AM-GM.

  4. Cám ơn chihao, Tinpee PT,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này