Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262


    Cho dãy $a_n$ xác định bởi :
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    {a_1} = \frac{1}{2}\\
    {a_{n + 1}} = \frac{{(n + 1)a_n^2}}{{n({a_n} + 1)}}
    \end{array} \right.\forall n \ge 1.\]
    Chứng minh dãy $(a_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    24
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    3
    Trước hết ta chứng minh rằng ${a_n} < n,\forall n$ bằng quy nạp. Cụ thể với $n=1$ thì điều này hiển nhiên đúng. Giả sử giả thiết đúng với $n$ ta cần chứng minh đúng với $n+1$. Thật vậy:
    \[{a_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)a_n^2}}{{n\left( {{a_n} + 1} \right)}} < \dfrac{{\left( {n + 1} \right){n^2}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = n < n + 1\]
    Từ giả thiết ta có:
    \[{a_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)a_n^2}}{{n\left( {{a_n} + 1} \right)}} \Rightarrow \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a_n}}}{{n\left( {{a_n} + 1} \right)}} < 1\]
    Do đó dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ là dãy giảm. Mặc khác dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ bị chặn dưới bởi $0$ nên dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ tồn tại giới hạn.\\
    Gọi giới hạn của $\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ là $L$. Lấy giới hạn hệ thức ${a_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)a_n^2}}{{n\left( {{a_n} + 1} \right)}}$ ta có:
    \[L = \frac{{{L^2}}}{{L + 1}} \Rightarrow L = 0\]
    Vậy dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ tồn tại giới hạn và giới hạn là $L=0$.

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này