Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 4 123 ... CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 39
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932


    TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN.

    Các bài toán dành cho những người giỏi và yêu hình học thật sự !



    Bài toán 1:

    Cho hình chữ nhật $ABCD$, trên tia đối của tia $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $\widehat {APC} = \widehat {BCP}$. Tính tỉ số $\frac{{PC}}{{PB}}$.

  2. #2
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 2:

    Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M$ nằm trên tia đối của tia $BD$ sao cho $MA,MC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B$ với đường tròn $(O)$ cắt $MC$ tại $N$ và cắt $CD$ tại $P$ , $ND$ cắt đường tròn $O$ tại $E$. Chứng minh rằng $A,E,P$ thẳng hàng.

  3. #3
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 3:

    Cho tam giác $ABC$. Gọi ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.

  4. #4
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 4:

    Cho tam giác $ABC$, $\widehat {BAC} = {60^0}$, $O$ là điểm trong tam giác sao cho $\widehat {BOA} = \widehat {AOC} = {120^0}$. Gọi $D,I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng $AIOD$ là tứ giác nội tiếp.

  5. #5
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 5:

    Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,M,I$ cùng nằm trên một đường tròn.

  6. #6
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 6:

    Cho tam giác $ABC (AC>AB)$ nội tiếp đường tròn $O$ . $D$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat {BAD} = \widehat {CAO}$. Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $E$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,OD,AC$. Chứng minh rằng $M,N,P$ thẳng hàng.

  7. #7
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 7:

    Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $O$, các đường cao $AD,BE,CF$. Chứng minh rằng các đường thẳng $OA,OF,OB,OD,OC,OE$ chia tam giác thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.

  8. #8
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 8:

    Cho tam giác $ABC (AC<AB)$. Hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng $DE$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng $PH$ vuông góc với $AM$.

  9. #9
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    719
    Cám ơn (Đã nhận)
    932
    Bài toán 9:

    Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh $B$ và $C$ của tam giác. Gọi $D$ là điểm trên cạnh $BC$, gọi ${\omega _1}$ là đường tròn đi qua các điểm $C,D,M$ và ${\omega _2}$ là đường tròn đi qua các điểm $B,D,N$. $DQ$ là đường kính đường tròn ${\omega _1}$, $DP$ là đường kính đường tròn ${\omega _2}$. Chứng minh rằng $P,Q,H$ thẳng hàng.

  10. #10
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    43
    Cám ơn (Đã nhận)
    44
    Bài toán 5:

    Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,M,I$ cùng nằm trên một đường tròn.

    Bài giải:
    Từ kết quả quen thuộc về hàng điểm điều hòa ta có (ID,BC)=-1. Theo hệ thức Maclaurin với M là trung điểm BC Suy ra:
    DM.DI=DB.DC (1).
    Mặt khác ta có: góc ACB = góc AFE (Tứ giác BCEF nội tiếp)
    Lại theo giả thuyết PQ song song EF nên góc AFE = góc BPQ
    Suy ra góc ACB = góc BPQ. nên BQCP là tứ giác nội tiếp.
    Xét phương tích D với đường tròn ngoại tiếp BQCP ta có: DB.DC=DP.DQ (2)
    Từ (1) và (2) ta có đpcm

  11. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 4 123 ... CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này