Cho đtròn(0) và M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC ( B, C là tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm BC. Lấy A thuộc đtròn sao cho A và M khác phía so với BC. Chứng minh rằng: $\widehat{BAM}= \w

[Hoa vô khuyết]

Cho đtròn(0) và M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC ( B, C là tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm BC. Lấy A thuộc đtròn sao cho A và M khác phía so với BC. Chứng minh rằng: $\widehat{BAM}= \widehat{CAI}$

Bài viết liên quan:

• Bất đẳng thức hay
• Chứng minh tỉ số sau
• [BT] Cho tứ diện đều $SABC$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $SO$ của tứ diện...
• Câu hình học không gian trong đề HSG Nam Định
• [BT] Bai thi trong de hsg tinh cua tinh Hai Duong

[nvcatc]

MB, MC là tiếp tuyến => Trung điểm I của BC nằm trên OM và BC⊥OM tại I. △MBO vuông tại B, △MCO vuông tại C.
Gọi D là giao điểm thứ 2 của MA với (O).
Ta có: $MA.MD=MB^{2}$ .
Do BI là đường cao của △MBO vuông tại $B =>MO.MI= MB^{2}$.
=>MO.MI=MA.MD (cùng bằng $MB^{2}$). => tứ giác ADIO nội tiếp.
=>$\widehat{OIA} = \widehat{ODA}$ (2 góc kề cùng nhìn cạnh đối OA trong tứ giác nội tiếp ADIO).
$\widehat{OIA} = \widehat{DAO}$(△AOD cân tại O).
$\widehat{ODA} = \widehat{DIM}$ (góc ngoài tại đỉnh đối của tứ giác nội tiếp ADIO).
=>$\widehat{DIM} = \widehat{OIA}$ =>$\widehat{DIB} = \widehat{AIB}$ (cùng phụ 2 góc băng nhau).
=>$\widehat{BIA} = \frac{\widehat{DIA}}{2})$.
$\widehat{DIA} = \widehat{DOA}$ (2 góc kề cùng nhìn cạnh đối DA trong tứ giác nội tiếp ADIO).
=>$\widehat{BIA}=\frac{\widehat{DOA}}{2}$
$\widehat{DCA} =\frac{\widehat{DOA}}{2}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)
=>$\widehat{DCA} = \widehat{BIA}$.
$\widehat{DBA} + \widehat{DCA}=180^{o}$ ( Tứ giác ABDC nội tiếp (O)).
$\widehat{CIA} + \widehat{BIA} = \widehat{BIC}=180^{o}$
=>$\widehat{CIA}=\widehat{DBA}$ (cùng bù 2 góc bằng nhau).
$\widehat{BDA}=\widehat{BCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
=>△BAD∼△IAC => $\widehat{BAM} \equiv \widehat{BAD}=\widehat{CAI}$(đpcm).