Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$\frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}+\frac{(a+c)^2}{b(a+c+2b )}+\frac{(a+b)^2}{c(a+b+2c)}$ $\ge$ $2(\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$

Giải:

Đặt $x=\dfrac{b+c}{2a};y=\dfrac{a+c}{2b};z=\dfrac{a+b} {2c}$ ta có: $x+y+z+1=4xyz$ và $xyz\ge 1$
$BDT$ $\sum \dfrac{x^2}{x+1}\ge \dfrac{xy+yz+zx}{2xyz}$
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz ta có:
$\sum \dfrac{x^2}{x+1}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z+3}\ge \dfrac{3(xy+yz+zx)}{6xyz}=\dfrac{xy+yz+zx}{2xyz}$ (đpcm)
Dấu $"="$ xảy ra khi: $x=y=z$

P/s: bữa trc em có đọc 1 vài tài liệu và thấy họ làm như trên nhưng em vẫn thắc mắc là vì sao lại biết đặt x =.... ; y=....; z=.....và tại sao lại biết suy ra $x+y+z+1=4xyz$ ạ ?

Cảm ơn mọi người !





PS Hôm nay là cái ngày gì mà lên diễn đàn toàn ghi bài Spam. Nói vậy chứ tôi cũng muốn tốt cho bạn thôi

Đẳng thức là đẳng thức, nói vậy ai chả biết . Thừa thãi !

Chứng minh lại thì nó hiển nhiên đúng, bài đó họ giải đúng, đó cũng là tất nhiên vì dù gì đi nữa thì em cũng có mắt để đọc !

Spam? Xin lỗi cô/ thầy nhưng em đã đọc kĩ quy định diễn đàn thì bài này ko bị liệt vào dạng spam !

Hôm nay là ngày gì ? Hôm qua là sinh nhật em và tất nhiên hôm nay là ngày cách sinh nhật em 1 ngày

À, em có nghe họ nói : "hiểu bao nhiêu vẫn thiếu, học bao nhiêu chẳng thừa" Vậy nên mới mạo muội lên diễn đàn này để học hỏi, nếu mà giỏi rồi thì cần gì phải như thế này nữa ạ ? . Thầy /cô hỏi tại sao em lại ko biết như ng.ta ư? ~ Vì em còn ngu , phải học thêm nhiều nữa. Ngu thì phải cầu tiến . ..Đến cả thầy /cô cũng còn phải học , nói chi đến em ?

Còn nữa, đáng tiếc là câu hỏi của em vẫn chưa đc thỏa mãn . Ko phải cái gì cũng ngẫu nhiên, mà chẳng qua là ko nhìn ra nó thôi .

Ý em vẫn là tại sao lại biết đc phân tích như vậy , đặt ẩn như vậy ?

P/s: ai ko biết thì miễn spam giùm ạ [/B]