Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    22
    Bài viết
    190
    Cám ơn (Đã nhận)
    163

  2. Cám ơn cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    Từ pt (2) thấy $ xy>0 $. Nếu hệ có nghiệm $ (x_0,y_0) $ thì hệ cũng có nghiệm $ (-x_0,-y_0) $ nên ta sẽ tìm các nghiệm dương trước.

    + Pt (1), ta luôn có
    \[ \sqrt{2(x^4+y^4)}\ge\frac12xy+\frac34(x^2+y^2), \]
    nên
    \[ 1=VT(1)\ge \frac32xy+\frac34(x^2+y^2)=\frac34(x+y)^2\Longrigh tarrow x+y\le\frac2{\sqrt3}\quad(1). \]

    + Pt (2), dùng AM-GM cho VT(2) như sau
    \begin{align*}
    \frac2{3^{2012}}=VT(2)&=x^{2009}y^{2009}(x^4+y^4)\ \
    &\le \frac1{2^7}x^{1991}y^{1991}.(2x^2y^2)^3.[xy(x^2+y^2)]^4.(x^4+y^4)\\
    &\le \frac1{2^{15}}x^{1991}y^{1991}\left [3(2x^2y^2)+4xy(x^2+y^2)+(x^4+y^4)\right ]^8\\
    &=\frac1{2^{31}}x^{1991}y^{1991}(x+y)^{32}\\
    &\le \frac1{2^{4013}}(x+y)^{4014}.
    \end{align*}
    từ đây suy ra $ x+y\ge\frac2{\sqrt{3}}\quad(2) $. Từ (1) và (2) phải có $ x=y=\frac1{\sqrt{3}} $. Nghiệm hệ $ (\frac1{\sqrt{3}},\frac1{\sqrt{3}}); (-\frac1{\sqrt{3}},-\frac1{\sqrt{3}}) $
    Sửa lần cuối bởi Tran Le Quyen; 25/09/14 lúc 12:00 PM.

  4. Cám ơn Lãng Tử Mưa Bụi, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này