Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    920

  2. #2
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:

    Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
    $\left\{ \begin{array}{l}
    f(1) = 1\\
    f\left( {x + y} \right) = {3^y}f(x) + {2^x}f(y)\ (1)\begin{array}{*{20}{c}}
    ,&{\forall x,y \in \mathbb{R}}
    \end{array}
    \end{array} \right.$
    Hướng dẫn:

    + Thay $y=0$ ta có $f(0)=0$.
    + Tiếp theo, giao hoán hai biến $x,y$ cho nhau ta được $${f(x+y)=3^y}f(x) + {2^x}f(y)={3^x}f(y) + {2^y}f(x)\ (2)$$
    + Giả sử tồn tại $x=x_0\ne 0$ để $f(x_0)=0$. Khi đó, thay $x=x_0$ vào (2) ta có $$(3^{x_0}-2^{x_0}).f(y)=0\Rightarrow f(y)\equiv 0\text{ (loại)}$$
    + Xét $xy\ne 0$, đặt $g(x)= \dfrac{3^x-2^x}{f(x)}, g(y)= \dfrac{3^y-2^y}{f(y)}$. Từ (2) ta có $$g(x)=g(y),\ \forall x,y\ne 0$$
    Suy ra $g(x)= \dfrac{1}{c},\ \forall x\ne 0,c\ne 0$. Do vậy $f(x)= c(3^x-2^x),\ \forall x\in\mathbb{R}$ vì $f(0)=0$.
    Thử lại thấy thỏa mãn nên bài toán nên hàm thỏa mãn bài toán đó là $f(x)=c(3^x-2^x),\ \forall x\in\mathbb{R}$.
    Sửa lần cuối bởi Lê Đình Mẫn; 25/09/14 lúc 08:17 PM.

  3. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này