Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán:
    Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$
    Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{{1 + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + 2ca}} + \frac{{{c^2}}}{{1 + 2ab}} \ge \frac{3}{5}$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    13
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    Dưới mẫu ta quy hết về hàm số biến a^2. Áp dụng bdt tiếp tuyến cho từng hàm số ẩn a^2,b^2,c^2 là dc, phải không thầy

  3. #3
    Thành Viên Tích Cực cuong18041998's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    19
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:
    Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$
    Chứng minh rằng: $\frac{{{a^2}}}{{1 + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + 2ca}} + \frac{{{c^2}}}{{1 + 2ab}} \ge \frac{3}{5}$
    E thử thế này xem đúng không thầy nhé!

    Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c$, thế thì:
    $a^2 \geq b^2 \geq c^2;$
    $\frac{1}{1 + 2bc} \geq \frac{1}{1 + 2ca}\geq \frac{1}{1 + 2ab}$

    Khi đó, áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ cho 2 bộ cùng chiều trên ta được:
    $VT \geq \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2)\left ( \frac{1}{1 + 2bc} + \frac{1}{1 + 2ca} + \frac{1}{1 + 2ab} \right )(1)$

    Theo bất đẳng thức $Schwarz$ ta có:
    $\frac{1}{1 + 2bc} + \frac{1}{1 + 2ca} + \frac{1}{1 + 2ab}\geq \dfrac{9}{3 + 2(ab + bc + ca)}(2)$

    Nhưng với mọi $a, b, c > 0$, ta luôn có:
    $a^2 + b^2 + c^2\geq ab + bc + ca(3)$

    Mặt khác ta lại có:
    $a^2 + b^2 + c^2 = 1(4)$

    Kết hợp $(1), (2), (3), (4)$ ta có
    $VT \geq \frac{3}{5} = VP$

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = c = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  4. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Ta có
    $2bc\leq b^2+c^2 \Rightarrow \frac{a^2}{1+2bc}\geq \frac{a^2}{1+b^2+c^2}=\frac{a^2}{2-a^2}$
    Ta chứng minh : $\frac{a^2}{2-a^2}\geq \frac{18a^2}{25}-\frac{1}{25}$ (1)
    Thật vậy, (1)$\Leftrightarrow 2(3a^2-1)^2\geq 0$ (đúng)
    Do đó, $P \geq \frac{18(a^2+b^2+c^2)}{25}-\frac{3.1}{25}=\frac{3}{5}$
    Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này