Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: Giải phương trình

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94

  2. Cám ơn kalezim16 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    Pt tương đương
    \[ \sqrt{x}\sqrt{x^3+x}+\sqrt{x}\sqrt{4x-x^3}=3\sqrt[4]{\frac{6x^4-18x^2+27}{x^2}} \]
    Đặt $ a=x^2 $ ta có
    \begin{align*}
    \sqrt{a^2+a}+\sqrt{4a-a^2}=3\sqrt[4]{6a-18+\frac{27}{a}}\\
    \iff 5a+2a\sqrt{-a^2+3a+4}=9\sqrt{6a-18+\frac{27}{a}}
    \end{align*}
    Lại đặt
    \[ \begin{cases}
    y=\sqrt{-a^2+3a+4}\\
    z=\sqrt{6a-18+\frac{27}{a}}
    \end{cases} \]
    ta có hệ
    \[ \begin{cases}
    5a+2ay-9z=0\quad (1)\\
    y^2=-a^2+3a+4\\
    z^2=6a-18+\frac{27}{a}
    \end{cases}\Longrightarrow
    \begin{cases}
    2a(y-2)=9(z-a)\quad (2)\\
    2a(y-2)(y+2)=2a(-a^2+3a)\quad (3)\\
    az^2=6a^2-18a+27 (4)
    \end{cases} \]
    Từ đây suy ra
    \begin{align*}
    [ 9(z-a)(y+2)+(2a^3-6a^2)](z+3)-3(y+2)(az^2-6a^2+18a-27)=0\\
    \iff (a-3)(2 a^2 z+6 a^2+18 a y+36 a-3 y z^2-9 y z-27 y-6 z^2-18 z-54)=0\\
    \iff (a-3)A=0
    \end{align*}
    Để thấy $ A<0 $, thay $ z=\frac19(5a+2ay) $ vào $ A $ ta được
    \begin{align*}
    3A&=4 a^3 y+10 a^3-4 a^2 y^3-28 a^2 y^2-65 a^2 y\\ &\quad-32 a^2-18 a y^2-27 a y
    +18 a-81 y-162\\
    &=(4a^3y-16a^2y)+(8a^3-32a^2)+(2a^3-64)+(18a-72)\\&\quad
    -4a^2y^3-49a^2y-4 a^2 y^3-28 a^2 y^2-18 a y^2-27 a y-81y-32<0
    \end{align*}
    Để ý rằng các phần trong ngoặc $ \le 0 $ do $ 0<a\le 4,y\ge0 $. Pt đã cho có duy nhất nghiệm $ x=\sqrt{3} $.

  4. Cám ơn cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Phải công nhận chị TLQ kiên trì thật!
    Mọi người thử chứng minh:
    $$\sqrt{x^3+x}+\sqrt{4x-x^3} \le 3\sqrt[4]{3}$$

    Đó là mấu chốt khi tôi chế bài này!

  6. Cám ơn Tran Le Quyen, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    142
    Cám ơn (Đã nhận)
    150
    Trích dẫn Gửi bởi Duc_Huyen1604 Xem bài viết
    Phải công nhận chị TLQ kiên trì thật!
    Mọi người thử chứng minh:
    $$\sqrt{x^3+x}+\sqrt{4x-x^3} \le 3\sqrt[4]{3}$$

    Đó là mấu chốt khi tôi chế bài này!
    Ko phải chị đâu :3
    Tên c ý là Trần Lê Quyền đấy :v

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này