Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29


    Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 4$.
    Chứng minh rằng $\frac{ab+1}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}+\frac{bc+1}{{{\left( b+c \right)}^{2}}}+\frac{ca+1}{{{\left( c+a \right)}^{2}}}\ge 3$

  2. Cám ơn Phan Huy Hoàng đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 4$.
    Chứng minh rằng $\frac{ab+1}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}+\frac{bc+1}{{{\left( b+c \right)}^{2}}}+\frac{ca+1}
    {{{\left( c+a \right)}^{2}}}\ge 3$
    Hình:
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

  4. Cám ơn khotam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 4$.
    Chứng minh rằng $\frac{ab+1}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}+\frac{bc+1}{{{\left( b+c \right)}^{2}}}+\frac{ca+1}{{{\left( c+a \right)}^{2}}}\ge 3$
    Từ điều kiện đề bài có
    $$ 4 \ge 2 \left( a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \right) $$
    Hay là
    $$ 2 \ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$
    Để ý là
    $$ \frac{ab+1}{\left( a+b \right)^2 } =\frac{2ab+2}{2\left( a+b \right)^2 } \ge \frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2 \left( a+b \right)^2 } = \frac{\left( a+b \right)^2 + \left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2 }\\
    =\frac{1}{2} + \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{2 \left( a+b \right)^2} $$
    Như vậy
    $$ P \ge \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\left( b+c \right) \left( c+a \right)}{ \left( a+b \right)^2} + \frac{\left( c+a \right) \left( a+b \right)}{ \left( b+c \right)^2} + \frac{\left( a+b\right) \left( b+c \right)}{ \left( c+a \right)^2}\right) \ge \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 $$
    Đó là điều cần chứng minh.
    Sửa lần cuối bởi materazzi; 21/09/14 lúc 06:30 PM.

  6. Cám ơn Runaway, khotam, lilac đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này