Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    {e^{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2} + 1}}{\rm{ }}\\
    3{\log _3}\left( {x + 2y + 6} \right) = 2{\log _2}\left( {x + y + 2} \right) + 1{\rm{ }}
    \end{array} \right.{\rm{ }}$

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành viên VIP
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    45
    Cám ơn (Đã nhận)
    48
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    {e^{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2} + 1}}{\rm{ }}\\
    3{\log _3}\left( {x + 2y + 6} \right) = 2{\log _2}\left( {x + y + 2} \right) + 1{\rm{ }}
    \end{array} \right.{\rm{ }}$
    ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}
    x + 2y + 6 > 0\\
    x + y + 2 > 0
    \end{array} \right.$
    Lấy loga hai về pt (1) ta được: ${y^2} - {x^2} = \ln \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2} + 1}} \Leftrightarrow \ln ({x^2} + 1) + {x^2} = \ln ({y^2} + 1) + {y^2}$
    Xét hàm số: $f(t) = \ln t + t,t \ge 1$
    $f'(t) = \frac{1}{t} + 1 > 0,t \ge 1$ . Do đó hàm số đồng biến nên $f({x^2} + 1) = f({y^2} + 1) \Leftrightarrow x = \pm y$
    +) \[x = - y \Rightarrow 3{\log _3}(y + 6) = 2{\log _2}2 + 1 \Leftrightarrow y = - 3 \Rightarrow x = 3\]
    +)\[\begin{array}{l}
    x = y \Rightarrow 3{\log _3}(3y + 6) = 2{\log _2}(2y + 2) + 1 \Leftrightarrow 3 + {\log _3}(y + 2) = 3 + {\log _2}(y + 1)\\
    \Leftrightarrow {\log _3}(y + 2) = {\log _2}(y + 1) = t \Rightarrow {3^t} - {2^t} = 1
    \end{array}\]
    Pt cuối $t=1$ xét hàm$=> y=x=1$

  4. Cám ơn tinilam, chihao, tranthanhson1998 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    8
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Trích dẫn Gửi bởi hungdang Xem bài viết
    ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}
    x + 2y + 6 > 0\\
    x + y + 2 > 0
    \end{array} \right.$
    Lấy loga hai về pt (1) ta được: ${y^2} - {x^2} = \ln \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2} + 1}} \Leftrightarrow \ln ({x^2} + 1) + {x^2} = \ln ({y^2} + 1) + {y^2}$
    Xét hàm số: $f(t) = \ln t + t,t \ge 1$
    $f'(t) = \frac{1}{t} + 1 > 0,t \ge 1$ . Do đó hàm số đồng biến nên $f({x^2} + 1) = f({y^2} + 1) \Leftrightarrow x = \pm y$
    +) \[x = - y \Rightarrow 3{\log _3}(y + 6) = 2{\log _2}2 + 1 \Leftrightarrow y = - 3 \Rightarrow x = 3\]
    +)\[\begin{array}{l}
    x = y \Rightarrow 3{\log _3}(3y + 6) = 2{\log _2}(2y + 2) + 1 \Leftrightarrow 3 + {\log _3}(y + 2) = 3 + {\log _2}(y + 1)\\
    \Leftrightarrow {\log _3}(y + 2) = {\log _2}(y + 1) = t \Rightarrow {3^t} - {2^t} = 1
    \end{array}\]
    Pt cuối $t=1$ xét hàm$=> y=x=1$
    Lời giải chỗ x=y bị sai rồi bạn ơi
    Với x=y, thay vào pht (2) ta được:\[\begin{gathered}
    3{\log _3}(3x + 6) = 2lo{g_2}(2x + 2) + 1 \hfill \\
    \Leftrightarrow 3{\log _3}(x + 2) = 2{\log _2}(x + 1) \hfill \\
    \end{gathered} \]
    Đặt \[a = 3{\log _3}(x + 2) = 2{\log _2}(x + 1)\]
    Suy ra \[\begin{gathered}
    {3^{\frac{a}{3}}} = 1 + {2^{\frac{a}{2}}} \hfill \\
    \Leftrightarrow 1 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{a}{3}}} + \frac{{{2^{\frac{a}{2}}}}}{{{3^{\frac{a}{3}}}}} \hfill \\
    \end{gathered} \]
    Xét hàm số \[f\left( a \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{a}{3}}} + \frac{{{2^{\frac{a}{2}}}}}{{{3^{\frac{a}{3}}}}}\] với mọi \[a \in R\]
    Ta có \[f'(a) < 0\] với mọi \[a \in R\]
    \[ \Rightarrow f\] nghịch biến trên R
    Mặt khác \[f\left( 6 \right) = 1 \Rightarrow a = 6\]
    Suy ra x=y=7

  6. Cám ơn lequocvinhtk5 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này