Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 11
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    449


    Cho $a,b,c\in\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3+4abc\le \dfrac{9}{32}$$

  2. Cám ơn Tinpee PT,  $T_G$, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Cho $a,b,c\in\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3+4abc\le \dfrac{9}{32}$$
    Ta có BĐT tương đương với :
    $$f(a)=a^3+4bc.a+b^3+c^3-\frac{9}{32} \leq 0$$
    Ta có:
    $f'(a)=3a^2+4bc$
    $f''(a)=6a \geq 0$ với mọi $a \in [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra $f(a)$ lõm trên $ [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra: $ f(a) \leq $ Max{$f(0); f(\frac{1}{2})$}
    Do đó, ta cần chứng minh: $f(0) \leq 0$ và $f(\frac{1}{2}) \leq 0 $
    Hay
    $b^3+c^3-\frac{9}{32} \leq 0$ với $b+c=1$ và $b, c \in [0;\frac{1}{2}]$
    Và $\frac{1}{8}+b^3+c^3+2bc-\frac{9}{32} \leq 0$ với $b+c=\frac{1}{2}$ và $b, c \in [0;\frac{1}{2}]$
    C/m 2 BDT trên thì dễ rồi
    HOA VÔ KHUYẾT

  4. Cám ơn Tran Le Quyen,  $T_G$, tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Ta có BĐT tương đương với :
    $$f(a)=a^3+4bc.a+b^3+c^3-\frac{9}{32} \leq 0$$
    Ta có:
    $f'(a)=3a^2+4bc$
    $f''(a)=6a \geq 0$ với mọi $a \in [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra $f(a)$ lõm trên $ [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra: $ f(a) \leq $ Max{$f(0); f(\frac{1}{2})$}
    Do đó, ta cần chứng minh: $f(0) \leq 0$ và $f(\frac{1}{2}) \leq 0 $
    Hay
    $b^3+c^3-\frac{9}{32} \leq 0$ với $b+c=1$ và $b, c \in [0;\frac{1}{2}]$
    Và $\frac{1}{8}+b^3+c^3+2bc-\frac{9}{32} \leq 0$ với $b+c=\frac{1}{2}$ và $b, c \in [0;\frac{1}{2}]$
    C/m 2 BDT trên thì dễ rồi
    Bạn làm sai rồi

  6. Cám ơn chihao, Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi 2M Xem bài viết
    Bạn làm sai rồi
    Ko biết sai chỗ nào, xin Thầy nói rõ hơn được không ???
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 19/09/14 lúc 10:44 PM. Lý do: để ý tuổi :D
    HOA VÔ KHUYẾT

  8. #5
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Ta có BĐT tương đương với :
    $$f(a)=a^3+4bc.a+b^3+c^3-\frac{9}{32} \leq 0$$
    Ta có:
    $f'(a)=3a^2+4bc$
    $f''(a)=6a \geq 0$ với mọi $a \in [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra $f(a)$ lõm trên $ [0;\frac{1}{2}]$
    Suy ra: $ f(a) \leq $ Max{$f(0); f(\frac{1}{2})$}
    Khi bạn khảo sát hàm biến $a$ như tôi trích dẫn ở trên, thì $a$ độc lập với $b;\,c$. Nhưng ở đoạn tôi trích dẫn dưới này thì bạn lại sử dụng ràng buộc $a+b+c=1$.
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Và $\frac{1}{8}+b^3+c^3+2bc-\frac{9}{32} \leq 0$ với $b+c=\frac{1}{2}$ và $b, c \in [0;\frac{1}{2}]$
    C/m 2 BDT trên thì dễ rồi
    Nếu muốn khảo sát hàm, bạn cần xét $f(a)=a^3+b^3+(1-a-b)^3+4ab(1-a-b)$ với $a\in [0;\,1/2]\cap [0;\,1-b]$

  9. Cám ơn Hoa vô khuyết, Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi 2M Xem bài viết
    Khi bạn khảo sát hàm biến $a$ như tôi trích dẫn ở trên, thì $a$ độc lập với $b;\,c$. Nhưng ở đoạn tôi trích dẫn dưới này thì bạn lại sử dụng ràng buộc $a+b+c=1$.


    Nếu muốn khảo sát hàm, bạn cần xét $f(a)=a^3+b^3+(1-a-b)^3+4ab(1-a-b)$ với $a\in [0;\,1/2]\cap [0;\,1-b]$
    Cảm ơn thầy. Thầy có thể giải chi tiết bài này theo hướng xét hàm số của thầy giúp em được không ạ !
    HOA VÔ KHUYẾT

  11. #7
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Cảm ơn thầy. Thầy có thể giải chi tiết bài này theo hướng xét hàm số của thầy giúp em được không ạ !
    Bài này việc gì phải hàm hiếc gì cho mệt, có cả định lý về dạng thuần nhất và đối xứng bậc 3 rồi đó thây

  12. Cám ơn Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  13. #8
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi 2M Xem bài viết
    Bài này việc gì phải hàm hiếc gì cho mệt, có cả định lý về dạng thuần nhất và đối xứng bậc 3 rồi đó thây
    Dạ thầy nói đúng nhưng em muốn học cách chứng minh bdt bằng hàm số ấy cho quen! Nếu có thể thì thầy giúp em với !
    HOA VÔ KHUYẾT

  14. #9
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Dạ thầy nói đúng nhưng em muốn học cách chứng minh bdt bằng hàm số ấy cho quen! Nếu có thể thì thầy giúp em với !
    Thì em cứ khảo sát bình thường như tôi nói ở trên thôi, cụ thể nhé

    Do vai trò $a;\,b;\,c$ như nhau nên ta có thể giả sử $b$ là số bé nhất. Xét hàm số sau đây trên $D=\left[ {\frac{1}{2}-b;\,\frac{1}{2}} \right]$\[f\left( x \right) = {x^3} + {b^3} + {\left( {1 - x - b} \right)^3} + 4xb\left( {1 - x - b} \right)\]Ở đây, $b$ coi như tham số ta để ý rằng $b\in \left[ {0;\,\frac{1}{3}} \right]$ do đó\[f"(x)=6-14b>0\]Vậy, hàm đã xét lõm (theo nghĩa Việt Nam) trên $D$, cho nên\[f\left( x \right) \le \max \left\{ {f\left( \frac{1}{2}-b \right);\,f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right\}\,\,\forall \,x \in \left[ {\frac{1}{2}-b;\,\frac{1}{2}} \right]\]Mặt khác\[\begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{2} - b} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) &=b^3+ {\left( {\frac{1}{2} - b} \right)^3} + \frac{1}{8} + 2b\left( {\frac{1}{2} - b} \right)\\ &= \frac{9}{{32}} - \frac{1}{2}{\left( {b - \frac{1}{4}} \right)^2} \le \frac{9}{{32}}\end{array};\,\,\forall \,x \in \left[ {\frac{1}{2}-b;\,\frac{1}{2}} \right]\]Từ đó ta có điều cần chứng minh.

  15. Cám ơn Hoa vô khuyết, chihao, Lê Đình Mẫn đã cám ơn bài viết này
  16. #10
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi 2M Xem bài viết
    \[f"(x)=6-14b>0\]Vậy, hàm đã xét lõm (theo nghĩa Việt Nam) trên $D$...
    P/S: Thế giới hiểu hàm lõm theo phương diện quan sát với tư thế thẳng đứng. Còn Việt Nam lại quan niệm hàm lõm trong tư thế nằm.

 

 
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này