Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    60


    Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{x}{y^2+z^2}-\dfrac{1}{(x+y+z)^3}$.

  2. #2
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi phamtuankhai Xem bài viết
    Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $5(x^2+y^2+z^2)=9(xy+2yz+zx)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{x}{y^2+z^2}-\dfrac{1}{(x+y+z)^3}$.
    Hướng : Nhận thấy sự đối xứng của hai biến $y$ và $z$ nên chúng ta sẽ sử dụng các đánh giá sau :


    $\bigstar$. $5\left ( x^2 + y^2 + z^2 \right ) = 9x\left ( y + z \right ) + 18yz \Leftrightarrow 5\left ( x^2 + \left ( y + z \right )^2 \right ) = 9x\left ( y + z \right ) + 28yz$


    $\bigstar$. $yz \leq \frac{\left ( y + z \right )^2}{4} \rightarrow 9x\left ( y + z \right ) + 28yz \leq 9x\left ( y + z \right ) + 7\left ( y + z \right )^2$

    Từ hai điều trên suy ra được : $$5x^{2} + 5\left ( y + z \right )^{2} \leq 9x\left ( y + z \right ) + 7\left ( y + z \right )^{2}\Leftrightarrow 5.\left ( \frac{x}{y + z} \right )^2 - 9.\left ( \frac{x}{y + z} \right ) - 2 \leq 0 \rightarrow \frac{x}{y + z} \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 2\left ( y + z \right )$$
    Do đó biểu thức $P$ được viết lại thành :
    $$P \le \frac{4}{y + z} - \frac{1}{27 \left( y + z \right)^3}$$

    Đặt $t = y + z > 0$ do đó ta cần xét hàm số : $$f\left ( t \right ) = \frac{4}{t} - \frac{1}{27t^3} ; t > 0$$
    Dễ dàng thấy được $f\left ( t \right ) \geq f\left ( \frac{1}{6} \right ) = 16 \rightarrow P \geq 16 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} ; y = z = \frac{1}{12}.$ $\blacksquare$
    Sửa lần cuối bởi NTDuy; 20/08/14 lúc 07:18 PM.

  3. Cám ơn hoacthan đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này