Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    13
    Cám ơn (Đã nhận)
    12

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    Có thể giả sử $ a\ge b\ge c $. Để ý $ 3-a=\frac12(6-2a)=\frac12(b+c-c) $. Ta có
    \[ P=\frac18\prod(a+b-c).\frac{\sum a^2}{a^2b^2c^2}. \]
    Ta sẽ cm
    \begin{align}
    2\prod(a+b-c).\sum a^2\le3{a^2b^2c^2}\\
    \iff 2\left (abc-\prod(a+b-c)\right )\sum a^2-2abc\left (\sum a^2-\frac32 abc\right )\ge0
    \end{align}
    Sử dụng các phân tích
    \begin{align*}
    abc-\prod(a+b-c)&=(a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\\
    \left (\sum a\right )\left (\sum a^2\right )-9abc&=\left (\sum a^3-3abc\right )+\left (\sum ab(a+b)-6abc\right )\\
    &=(a+b+3c)(a-b)^2+(2a+2b+c)(a-c)(b-c)
    \end{align*}
    Ta có
    \[ (2)\iff M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)\ge0, \]
    với
    \[ \begin{cases}
    M=2(a+b-c)\sum a^2-\frac13 abc(a+b+3c)\\
    N=2c\sum a^2-\frac13abc(2a+2b+c).
    \end{cases} \]
    Ta có
    \begin{align*}
    N>0&\iff \sum a\sum a^2-ab(2a+2b+c)>0\\
    &\iff (a^3+b^3-a^2b-ab^2)+ac(a+c)+bc(b+c)+c^3-abc>0\\
    &\iff (a-b)^2(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+c^3-abc>0,
    \end{align*}

    \begin{align*}
    3M&=6(6-2c)\sum a^2-abc(a+b+3c)\\
    &=6\sum a\sum a^2-12c\sum a^2-abc(a+b+3c)\\
    &\ge 6a\sum a^2-abc(a+b+3c)\\
    &=a(3a^2-abc)+a(3a^2-b^2c-bc^2)\\
    &=a\left [\frac 12(a+b+c)a^2-abc\right ]+a\left [\frac 12(a+b+c)a^2-bc(b+c)\right ]>0.
    \end{align*}
    Bài toán được giải quyết.

  3. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi hoangminhquan Xem bài viết
    Cho ba số $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=6$. Tìm GTLN của biểu thức \[ P=(3-a)(3-b)(3-c)( \frac{1}{a^2b^2}+ \frac{1}{b^2c^2}+ \frac{1}{c^2a^2} )\]
    Ta sẽ đi chứng minh $ \displaystyle P \le \frac{3}{16} $.

    Ta thấy
    \begin{align*}
    \frac{3}{16} - P &= \frac{3}{16} - \frac{\left( 3-a \right) \left( 3-b \right) \left( 3-c \right) \left( a^2+b^2+c^2 \right)}{a^2b^2c^2} \\
    &= \frac{3}{16} - \frac{\left( 6-2a \right) \left( 6-2b \right) \left( 6-2c \right) \left( a^2+b^2+c^2 \right) \left( a+b+c \right)}{48a^2b^2c^2} \\
    &= \frac{3}{16} - \frac{\left( a+b-c \right) \left( b+c-a \right) \left( c+a-b \right) \left( a^2+b^2+c^2 \right) \left( a+b+c \right)}{48a^2b^2c^2} \\
    &= \frac{a^6 + b^6 + c^6 + 3a^2b^2c^2 - a^2b^2 \left( a^2+b^2 \right) - b^2c^2 \left( b^2+c^2 \right) - c^2a^2 \left( c^2+a^2 \right)}{48a^2b^2c^2} \ge 0
    \end{align*}
    Vậy
    $$ P \le \frac{3}{16} $$
    Tại $ \displaystyle a=b=c=2 $ thì $ \displaystyle P = \frac{3}{16} $.

    Vậy
    $$ \max P = \frac{3}{16} $$

  5. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này