Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29


    Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{2}{{{y}^{3}}}+\frac{2} {{{z}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}-yz+{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}-zx+{{x}^{2}}}\]

  2. Cám ơn HongAn39 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    Xét hiệu
    \begin{eqnarray}
    h=\frac 1{x^3}+\frac 1{y^3}+\frac1{x^2-xy+y^2}-\frac{16}{(x+y)^3}-\frac4{(x+y)^2}
    \end{eqnarray}
    Đặt $ s=x+y,p=xy $, với nhận xét $ s^2\ge 4p $, ta có
    \begin{align*}
    h&=\frac{s(s^2-3p)}{p^3}+\frac 1{s^2-3p}-\frac{16}{s^3}-\frac4{s^2}\\
    &=\left [\frac{s(s^2-3p)}{p^3}-\frac{16}{s^3}\right ]+\left (\frac 1{s^2-3p}-\frac4{s^2}\right )\\
    &=\frac{(s^2-4p)(s^4+ps^2+4p^2)}{s^3p^3}-\frac{3(s^2-4p)}{s^2(s^2-3p)}\\
    &=(s^2-4p)\left (\frac {s}{p^3}+\frac{1}{sp^2}+\frac{4}{s^3p}-\frac 1{p(s^2-3p)}+\frac 1{ps^2}\right )\ge 0
    \end{align*}
    Do vậy ta có
    \begin{align*}
    P&\ge\sum\frac{16}{(x+y)^3}+\sum\frac{4}{(x+y)^2}\ \
    &\ge^{HM-GM}\cdots\\
    &\ge 9.
    \end{align*}

  4. Cám ơn HongAn39 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{2}{{{y}^{3}}}+\frac{2} {{{z}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}-yz+{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}-zx+{{x}^{2}}}\]
    Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\left\{\begin{matrix} (a+b)(b+c)(c+a) \leq \frac{\left [ 2(a+b+c) \right ]^3}{27} \leq 8\\ \frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{3}}}+1+\frac{1} {{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}} \geq \frac{3}{xy}+ \frac{1}{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}} \geq \frac{16}{(x+y)^2} \end{matrix}\right.\]

    \[\Rightarrow P+3 \geq 16\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a) ^2} \right ) \\ \geq 48 \sqrt[3]{\frac{1}{\left [(a+b) (b+c)(c+a) \right ]^2}} \geq 12\]

  6. Cám ơn Tran Le Quyen, kalezim16, Runaway đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này