Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    60


    Sửa lần cuối bởi tinilam; 06/09/14 lúc 04:54 PM.

  2. #2
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    269
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Trích dẫn Gửi bởi phamtuankhai Xem bài viết
    Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+b-c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+ \dfrac{1} {b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)$
    Đặt $x=\dfrac{a}{c}, y=\dfrac{b}{c}$, điều kiện $x>0, y>0$.
    Điều kiện bài toán trở thành $(x+y-1)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-1\right)=4$ và $$P=\left(x^3+y^3+1\right)\left(\dfrac{1}{x^3}+ \dfrac{1} {y^3}+1\right)$$
    Sửa lần cuối bởi khanhsy; 21/09/14 lúc 01:17 PM.

  3. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    301
    Trích dẫn Gửi bởi phamtuankhai Xem bài viết
    Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+b-c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+ \dfrac{1} {b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)$
    $$P:=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+ \dfrac{1} {b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right) \ge \left[\sqrt{\left(a^3+b^3\right)\left(\dfrac{1}{a^3}+ \dfrac{1} {b^3}\right)}+1 \right]^2$$
    $$=\left[\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{a^3}+2}+1 \right]^2=\left[\sqrt{ \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \right)^3-3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \right)+2}+1 \right]^2\ge f\left( 1+2\sqrt{2}\right)$$


    Do khai thác giả thiết thì:

    $$(a+b-c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=4\leftrightarrow\left(\dfrac{a }{b}+\dfrac{b}{a} \right)=1+\dfrac{a+b}{c}+c\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$
    $$\left( \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)c^2-\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-1\right)c+a+b=0$$
    Khi đó để phương trình có nghiệm thì:
    $$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 1+2\sqrt{2}$$

  4. Cám ơn Tran Le Quyen, letrungtin đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này