Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + {y^3} = 17{\rm{ }}\\
    {\log _3}x.{\log _2}y = 1{\rm{ }}
    \end{array} \right.$

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + {y^3} = 17{\rm{ }}\\
    {\log _3}x.{\log _2}y = 1{\rm{ }}
    \end{array} \right.$
    Điều kiện $ x,y>0 $.
    Ta phải có $ \min\{x,y\}>1 $ vì nếu, chẳng hạn, $ x\le1 $ suy ra
    \[ \log_3x\le0\Longrightarrow\log_2y\le 0\Longrightarrow y\le1\Longrightarrow x^2+y^3\le 2<17. \]
    Cũng cần có $ \min\{x,y\}<\frac52\quad (*) $ vì điều ngược lại dẫn đến $ x^2+y^3\ge(\frac52)^2+(\frac52)^3>17 $.
    Đặt $ a=\log_3x,b=\log_2y $ suy ra $ x=3^a,y=2^b $. Hệ trở thành
    \[ \begin{cases}
    9^a+8^b=17\quad (1)\\
    ab=1\quad (2)
    \end{cases} \]

    Nếu $ 1<x<\frac52\Longrightarrow 0<a<\log_3\frac52 $, \[ [(1),(2)]\Longrightarrow f(a):=9^a+8^{\frac 1a}-17=0\quad (3) \]
    Ta có
    \begin{align*}
    f'(a)=9^a\ln 9-\frac 1{a^2}8^{\frac 1a}\ln 8\\
    f''(a)=9^a\ln^29+\frac1{a^4}8^{\frac 1a}\ln^2 8 >0
    \end{align*}
    Do đó
    \[ f'(a)<f'(\log_3\frac52)<0, \]
    suy ra $ (3) $ có duy nhất nghiệm $ a=1 $, nghiệm này bị loại do $ a<\log_3\frac52<1 $.

    Vậy phải có $ x>\frac52.$ Ta xét 2 TH sau:

    $ \bullet $ TH1: $ \frac52<x\le 3 $ suy ra
    \[ a\le 1\Longrightarrow^{(2)} b\ge1\Longrightarrow y\ge 2. \]
    Khi đó,
    \[ [(1),(2)]\Longrightarrow g(b):=9^{\frac 1b}+8^b-17=0\quad (4) \]
    với
    \begin{align*}
    g'(b)=-\frac1{b^2}9^{\frac 1b}\ln 9+8^b\ln 8\\
    g''(b)=\frac1{b^4}9^{\frac 1b}\ln^2 9+8^b\ln^2 8>0
    \end{align*}
    suy ra $ g'(b)\ge g'(2)>0 $, do đó (4) có duy nhất nghiệm $ b=1 $.

    $ \bullet $ TH2 $ x\ge 3 $: Ta xét lại (3) và cũng có $ f''(a)>0 $, suy ra $ f'(a)\ge f(3)>0 $, do đó (3) có duy nhất nghiệm $ a=1 $.

    Tóm lại hệ có 1 nghiệm $ (x,y)=(3,2) $.

    Em thấy lời giải này không được đẹp, chắc Thầy có cách tốt hơn đúng không ạ.

  3. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919
    Bài toán: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = 17\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{}&{}&{(1)}
    \end{array}{\rm{ }}\\
    {\log _3}x.{\log _2}y = 1\begin{array}{*{20}{c}}
    {}&{}&{(2)}
    \end{array}{\rm{ }}
    \end{array} \right.(*)$
    Bài giải:

    + Xác định điều kiện của x, y để hệ có nghiệm

    Nếu hệ có nghiệm x, y thì x, y >1 bởi vì nếu 0 < x,y <1 thì (1) không thỏa
    Do đó ta có điều kiện ràng buộc cho x, y là x > 1 và y > 1
    + Đặt ẩn phụ:
    Đặt ${\log _3}x = t$ với $t > 0$ (do x > 1) , ta có ${\log _3}x = t \Leftrightarrow x = {3^t}$
    Khi đó pt (2) trở thành $t.{\log _2}y = 1 \Leftrightarrow {\log _2}y = \frac{1}{t} \Leftrightarrow y = {2^{\frac{1}{t}}}$
    Từ phương trình (1) ta được pt: ${9^t} + {8^{\frac{1}{t}}} = 17$ (3)
    Dể thấy số nghiệm của hệ phương trình (*) bằng số nghiệm của pt (3)
    + Sử dụng công cụ đạo hàm để xác định số nghiệm của pt (3)
    (Xem (3) là pthđgđ của hai đồ thị $(C):y = {9^t} + {8^{\frac{1}{t}}}$ và $(\Delta ):y = 17$)
    Xét hàm số $f(t) = {9^t} + {8^{\frac{1}{t}}}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$
    Ta có:
    $\begin{array}{l}
    f'(t) = {9^t}.\ln 9 - \frac{{{8^{\frac{1}{t}}}.\ln 8}}{{{t^2}}} = {9^t}.\ln 9 - \ln {8.8^{\frac{1}{t}}}.\frac{1}{{{t^2}}}\\
    f''(t) = \ln {9.9^t}.\ln 9 - \ln 8.\frac{{{8^{\frac{1}{t}}}.\ln 8.( - \frac{1}{{{t^2}}}).{t^2} - 2t{{.8}^{\frac{1}{t}}}}}{{{t^4}}}\\
    {\rm{ }} = {\ln ^2}{9.9^t} + \ln 8.\frac{{{8^{\frac{1}{t}}}.\ln 8 + 2t{{.8}^{\frac{1}{t}}}}}{{{t^4}}} > 0{\rm{ , }}\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)
    \end{array}$
    Suy ra: f'(t) đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$
    Mặt khác: Do $f'(\frac{1}{2}).f'(1) = 18(\ln 9 - \ln {2^{256}})(\ln 27 - \ln 16) < 0$
    Suy ra: $\exists {t_0} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)$ sao cho $f'({t_0}) = 0$
    Bảng biến thiên:
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

    Từ BBT ta suy ra pt (3) luôn có hai nghiệm dương phân biệt
    + Nhẩm nghiệm
    Phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt là $t = 1 \vee t = {\log _3}2\sqrt 2 $. Suy ra: $x = 3 \vee x = 2\sqrt 2 $
    + Kết luận
    Vậy hệ pt (*) có hai nghiệm phân biệt $(3;2);\left( {2\sqrt 2 ;\sqrt[3]{9}} \right)$.

  5. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này