Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 7 của 7
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    25
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    17


    Topic In Olympiad Inequalities


    Không còn nghi ngờ hay chống cự gì nữa toán học mang trong mình tầm vực của một tầm ảnh hưởng lớn nhất và mạnh mẽ nhất trong mọi thời đại, hơn nữa một người làm toán luôn hiểu rằng bất đẳng thức cùng với âm vang mà nó tạo ra khiến con người ta như đi vào tính khúc bất tận và mạnh mẽ hơn bao giờ hết bởi sự phát triển như vũ bão của bất đẵng thức hiện nay, đặc biệt là bất đẳng thức hiện đại chính vì thế một cách vô tội vạ hàng trăm bất đẳng thức ra đời với độ thẩm mỹ không cao. Trên tinh thần của một người từng tham gia viết đề và lời giải cho bạn Red Devils diễn đàn MS cũng là người anh em của mình, âm điệu ấy được mình ma29 hưởng ứng nhiệt tình nhưng không vì thế ảnh hưởng tới phong cách lẫn phong độ của từng người từng cá nhân trong diễn đàn. Mình không có ý định cách tân đây là tư tưởng chủ quan nếu nói về trình bày còn nội dung thì quan tính chủ quan nhiều hơn và mạnh mẽ hơn ở bạn đọc. Ngoài mục đích giáo dục ra thì điều ma29 mong mỏi nhất vẫn là kích hoạt được niềm đam mê toán học trong mỗi con người, từng thành viên tham gia trong kì tuyển tập lần này.
    Mọi chi tiết gửi về: Sinh viên :Trần Hoàng Quang Trung Khóa 54-Lớp Kinh tế đối ngoại, Trường Đại học Ngoại Thương TP HCM
    hoặc là facebook: Riemann Hypothesis

    =============================================
    Bất đẳng thức trong olympic toán học phiên bản II
    =========================================
    Topic In Olympiad Inequalities volume II
    ****


    Bài 1 : Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh rằng
    $$3(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)\geq (x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2$$
    (Ấn Độ 2007)
    Lời giải:
    Với chú ý 2 số thực không âm $a$ và $b$ bất kì ta luôn có đánh giá : $a^2+ab+b^2\geq \frac{3}{4}(a+b)^2$ điều này là đúng là do nó $\Longleftrightarrow \frac{1}{4}(a-b)^2\geq 0$.
    Sử dụng vào việc giải toán ta có:
    $$LHS\geq 3.\left (\frac{3}{4} \right )^3\left ( x+y \right )^2(y+z)^2(z+x)^2\geq (x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=RHS$$
    Hay là
    $$(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$$
    $$\Leftrightarrow x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\geq 0$$
    Ta có điều cần chứng minh và đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau $a=b=c$ hoặc $a=b, c=0$ và các hoán vị $\square$.







    Bài 2: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng
    $$0<ab+bc+ca-abc<2$$
    (USA 2001)
    Clich here to see my blog: http://mattrangluna29.blogspot.com/

  2. Cám ơn chihao, Tran Le Quyen, thuanlqd, cuong18041998,  $T_G$, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi ma29 Xem bài viết

    Bài 2: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng
    $$0<ab+bc+ca-abc<2$$
    (USA 2001)
    Chứng minh: $ ab+bc+ca-abc\ge o$ hay $ ab+bc+ca\ge abc$
    Từ giả thiết ta thấy trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 1 số nhỏ hơn 1, giả sử $a\leq 1$. Thì $$ab+bc+ac-abc=a(b+c)+bc(1-a)\geq 0$$
    Dấu "=" xảy ra chẳng hạn $(a;b;c)=(2;0;0);(0;2;0);(0;0;2)$
    Chứng minh $abc+2\ge ab+bc+ca$.
    Trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 2 số lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1. WLOG $\to b,c$. Ta có:

    $(1-b)(1-c)\ge 0$ (1)
    Từ điều kiện $a^2+b^2+c^2+abc=4$ và $b^2+c^2\geq 2bc$. Ta có: $a^2+2bc+abc\leq 4\Leftrightarrow bc(2+a)\leq 4-a^2$
    Chia 2 vế cho $2+a$ ta có $ab\leq 2-a$ (2)
    Từ (1) và (2) ta có $$ab+bc+ac-abc\leq ab+2-a+ac(1-b)=2-a(1+bc-b-c)=2-a(1-b)(1-c)\leq 2$$
    Dấu bằng xảy ra khi $b=c$ và $a(1-b)(1-c)=0$ hay $(a;b;c)=(1;1;1);(0;\sqrt{2};\sqrt{2});(\sqrt{2};0 ;\sqrt{2});(\sqrt{2};\sqrt{2};0)$
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  4. Cám ơn ma29, tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Bài 3:(Võ Quốc Bá Cẩn): Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}-2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \sqrt{3}-2$
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator ma29's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    25
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Bài 2: Thêm một cách nữa của anh Cẩn. Bất đẳng thức bên trái là hiển nhiên, chứng minh bất đẳng thức bên phải.
    Từ giả thuyết suy ra rằng tồn tại các số không âm $x,y$ và $z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)>0$ và $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}$, $b=\frac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}$ ; $c=\frac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$. Bài toán đưa về chứng minh:
    $$2\sum _{cyc}\frac{xy}{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}-\frac{4xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )(z+x)}\leq 1$$
    $$\Leftrightarrow 2\sum _{cyc}\frac{xy}{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq\frac{4 xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )(z+x)} +1$$
    Khi ấy theo bất đẳng thức AM-GM ta có :
    $$ LHS \leq \sum _{cyc}\frac{xy}{x+y}\left (\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} \right )$$
    $$=\sum _{cyc}\frac{xy}{(x+y)(y+z)}+\sum _{cyc}\frac{xy}{(x+y)(y+z)}$$
    $$=\sum _{cyc}\frac{xy}{(x+y)(y+z)}+\sum _{cyc}\frac{xz}{(x+y)(x+z)}$$
    $$=^{?}1+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}=RHS$$
    Bài toán được chứng minh đẳng thức xảy ra chẳng hạn như $$(x,y,z)=\left \{ \right.(1,1,1),(\sqrt{2},\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0, \sqrt{2}),(0,\sqrt{2},\sqrt{2}) \left. \right \}$$ .




    Bài 4 . Cho các số thực dương $a,b$ và $c$ có tổng bằng $3$ . Chứng minh rằng:
    $$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2} \geq \frac{3}{2}$$

    (IMO 2009)
    Clich here to see my blog: http://mattrangluna29.blogspot.com/

  8. Cám ơn thuanlqd, tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi ma29 Xem bài viết
    Bài 4 . Cho các số thực dương $a,b$ và $c$ có tổng bằng $3$ . Chứng minh rằng:
    $$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2} \geq \frac{3}{2}$$
    Anh có thể hướng dẫn bài này không???
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  10. #6
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Anh có thể hướng dẫn bài này không???
    Theo CauChy-Schwarz ta có $\dfrac{a^2}{ab+ac^2}+\dfrac{b^2}{bc+ba^2} +\dfrac{c^2}{ca+cb^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+ac^2+ba^2+cb^2}\\\ge \dfrac{9}{\dfrac{(a+b+c)^2}{3} +ac^2+ba^2+cb^2}\\
    =\dfrac{9}{3+ac^2+ba^2+cb^2}$

    Từ đây thử chứng minh $\dfrac{9}{3+ac^2+ba^2+cb^2} \ge \dfrac{3}{2}$

  11. #7
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Từ đây thử chứng minh $\dfrac{9}{3+ac^2+ba^2+cb^2} \ge \dfrac{3}{2}$
    Quan trọng là đoạn đó đó anh.
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  12. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này