Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3

Chủ đề: 2M inequality

  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    25
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    17


    Trong bài viết này ma29 sẽ giới thiệu một bất đẳng thức mang tên $2M$ do chính $2M$ sáng tác . Điều ngạc nhiên ở đây nó tổng quát hơn bất đẳng thức $AM-GM$ truyền thống đã biết .
    Cho 2 bộ số thực $ x_1,x_2,...,x_n$ và $a_1,a_2,....,a_n$ thoả mãn: $\sum_{i=1}^{i=n}x_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i$. Chứng minh rằng :
    $$\prod_{i=1}^{i=n}x_i^{a_i}\geq \prod_{i=1}^{i=n}a_i^{a_i}$$
    Lời giải :
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : $$\sum_{i=1}^{i=n}x_ilnx_i\geq \sum_{i=1}^{i=n}a_ilna_i$$
    Sử dụng tiếp tuyến cho hàm $f(x)=lnx$ ta có đánh giá sau :
    $$f(x_i)\geq f'(a_i)(x_i-a_i)+f(a_i)=\frac{1}{a_i}(x_i-a_i)+f(a_i)$$
    $$\Rightarrow a_i f(x_i) \geq x_i-a_i+a_i f(a_i)$$
    $$ \Rightarrow \sum_{i=1}^{i=n}a_i f(x_i)\geq \sum_{i=1}^{i=n}(x_i-a_i)+\sum_{i=1}^{i=n}a_if(a_i)=\sum_{i=1}^{n}a_if( a_i)$$
    Ta có điều cần chứng minh .
    Khi ta thay $a_1=a_2=...=a_n=\frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_i}{n}=AM_ {x_i}$ thi ta thu được:$$\prod_{i=1}^{i=n}x_i\leq \prod_{i=1}^{i=n}a_i=\left (\frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_i}{n} \right )^n$$
    Tương đương
    $$\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{i=n}a_{i} \right )\geq \left (\prod_{i=1}^{i=n}a_{i} \right )^{\frac{1}{n}}$$
    Đây chính là AM-GM truyền thống đã biết, làm sao để có được những bất đẳng thức tổng quát loại này
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 19/09/14 lúc 10:34 PM.

  2. Cám ơn chihao, tinilam, Tinpee PT đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi ma29 Xem bài viết
    Trong bài viết này ma29 sẽ giới thiệu một bất đẳng thức mang tên $2M$ do chính $2M$ sáng tác . Điều ngạc nhiên ở đây nó tổng quát hơn bất đẳng thức $AM-GM$ truyền thống đã biết .
    Cho 2 bộ số thực $ x_1,x_2,...,x_n$ và $a_1,a_2,....,a_n$ thoả mãn: $\sum_{i=1}^{i=n}x_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i$. Chứng minh rằng :
    $$\prod_{i=1}^{i=n}x_i^{a_i}\geq \prod_{i=1}^{i=n}a_i^{a_i}$$
    Lời giải :
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : $$\sum_{i=1}^{i=n}x_ilnx_i\geq \sum_{i=1}^{i=n}a_ilna_i$$
    Sử dụng tiếp tuyến cho hàm $f(x)=lnx$ ta có đánh giá sau :
    $$f(x_i)\geq f'(a_i)(x_i-a_i)+f(a_i)=\frac{1}{a_i}(x_i-a_i)+f(a_i)$$
    Trích dẫn nguồn thì cũng tốt, nhưng trích dẫn phải chuẩn kẻo không người khác nghĩ ta phát biểu sai. Đúng ra phải là

    Cho 2 bộ số thực dương $ x_1,x_2,...,x_n$ và $a_1,a_2,....,a_n$ thoả mãn: $\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}a_i$, khi đó:$$\prod_{i=1}^{n}x_i^{a_i}\leq \prod_{i=1}^{n}a_i^{a_i}$$

  4. Cám ơn chihao, tinilam, Tinpee PT, ma29, Phan Huy Hoàng đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator ma29's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    25
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Trích dẫn Gửi bởi 2M Xem bài viết
    Trích dẫn nguồn thì cũng tốt, nhưng trích dẫn phải chuẩn kẻo không người khác nghĩ ta phát biểu sai. Đúng ra phải là

    Cho 2 bộ số thực dương $ x_1,x_2,...,x_n$ và $a_1,a_2,....,a_n$ thoả mãn: $\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}a_i$, khi đó:$$\prod_{i=1}^{n}x_i^{a_i}\leq \prod_{i=1}^{n}a_i^{a_i}$$
    Nói chung bất đẳng thức đẹp thầy à. Em rất thích những phát biễu dạng phỏng đoán hay là dạng tổng quát như thế này.
    Clich here to see my blog: http://mattrangluna29.blogspot.com/

  6. Cám ơn Phan Huy Hoàng đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này